Giải bài 4 tr 101 sách GK Toán GT lớp 12
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) \(\small \int xln(1+x)dx\).
b) \(\int (x^2+2x+1)e^xdx\).
c) \(\small \int xsin(2x+1)dx\).
d) \(\small \int (1-x)cosxdx\).
Hướng dẫn giải chi tiết bài 4
Phương pháp:
Một số dạng nguyên hàm và cách đặt để tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
- Dạng 1: \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)
Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)
- Dạng 2: \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)
Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)
Lời giải:
Lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 4 như sau:
Câu a:
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln (1 + x)\\ dv = xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{{1 + x}}\\ v = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int {x\ln (1 + x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) - \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}dx}}{{x + 1}}} \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) - \frac{1}{2}\int {\left( {x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left| {1 + x} \right|} \right) + C\\ = \frac{1}{2}({x^2} - 1)\ln (1 + x) - \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + C. \end{array}\)
Câu b:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} + 2x - 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = (2x + 2)dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)
\(\int {({x^2} + 2x + 1)} {e^x}dx = ({x^2} + 2x - 1){e^x} - 2\int {(x + 1){e^x}dx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)
Suy ra: \(\int {(x + 1){e^x}dx} = (x + 1){e^x} - \int {{e^x}dx} = x{e^x} + C\)
Vậy: \(\int {({x^2} + 2x - 1){e^x}dx} = ({x^2} + 2x - 1){e^x} - 2x{e^x} + C = ({x^2} - 1){e^x} + C.\)
Câu c:
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin (2x + 1)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = - \frac{1}{2}\cos (2x + 1) \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int {x\sin (2x + 1)dx} = - \frac{x}{2}\cos (2x + 1) + \frac{1}{2}\int {\cos (2x + 1)dx} \\ = - \frac{x}{2}\cos (2x + 1) + \frac{1}{4}\sin (2x + 1) + C. \end{array}\)
Câu d:
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 1 - x\\ dv = \cos dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = - dx\\ v = \sin x \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int {(1 - x)\cos xdx} = (1 - x)\sin x + \int {\sin xdx} \\ = (1 - x)\sin x - \cos x + C. \end{array}\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
Video hướng dẫn giải bài 4 SGK
Bài tập SGK khác
Bài tập 1 trang 100 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 100-101 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 101 SGK Giải tích 12
Bài tập 3.1 trang 163 SBT Toán 12
Bài tập 3.2 trang 163 SBT Toán 12
Bài tập 3.3 trang 164 SBT Toán 12
Bài tập 3.4 trang 164 SBT Toán 12
Bài tập 3.5 trang 164 SBT Toán 12
Bài tập 3.6 trang 164 SBT Toán 12
Bài tập 3.7 trang 164 SBT Toán 12
Bài tập 3.8 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.9 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.10 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.11 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.12 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.13 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.14 trang 166 SBT Toán 12
Bài tập 3.15 trang 166 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 141 SGK Toán 12 NC
Bài tập 2 trang 141 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3 trang 141 SGK Toán 12 NC
Bài tập 4 trang 141 SGK Toán 12 NC
Bài tập 5 trang 145 SGK Toán 12 NC
Bài tập 6 trang 145 SGK Toán 12 NC
Bài tập 7 trang 145 SGK Toán 12 NC
-
Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, hãy tìm: \(\int {{x^2}{\rm{cos}}\left( {3x} \right)} dx\).
bởi Anh Trần 24/05/2021
Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, hãy tìm: \(\int {{x^2}{\rm{cos}}\left( {3x} \right)} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, hãy tìm: \(\int {{x^3}\ln \left( {2x} \right)} dx\).
bởi Mai Đào 25/05/2021
Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, hãy tìm: \(\int {{x^3}\ln \left( {2x} \right)} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, hãy tìm: \(\int {3{x^2}{\rm{cos}}\left( {2x} \right)} dx\).
bởi Nguyễn Lệ Diễm 25/05/2021
Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, hãy tìm: \(\int {3{x^2}{\rm{cos}}\left( {2x} \right)} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, hãy tìm: \(\int {{x^2}{e^x}} dx\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Hãy tìm nguyên hàm của hàm số: \(y = x\sin {x \over 3}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tìm nguyên hàm của hàm số: \(y = \sqrt x \ln x\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tìm nguyên hàm của hàm số: \(y = x\ln x\)
bởi Lê Viết Khánh 25/05/2021
Hãy tìm nguyên hàm của hàm số: \(y = x\ln x\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tìm nguyên hàm của hàm số: \(y = x{e^{ - x}}\)
bởi Nguyen Phuc 25/05/2021
Hãy tìm nguyên hàm của hàm số: \(y = x{e^{ - x}}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Gọi h(t) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng \(h'\left( t \right) = {1 \over 5}\root 3 \of {t + 8} \) và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
bởi Lê Minh Trí 25/05/2021
Gọi h(t) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng \(h'\left( t \right) = {1 \over 5}\root 3 \of {t + 8} \) và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc \(v'\left( t \right) = {3 \over {t + 1\left( {m/{s^2}} \right)}}\). Vận tốc ban đầu của vật là 6 m/s. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
bởi thu hảo 25/05/2021
Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc \(v'\left( t \right) = {3 \over {t + 1\left( {m/{s^2}} \right)}}\). Vận tốc ban đầu của vật là 6 m/s. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tìm: \(\int {2x{e^{{x^2} + 4}}} dx\).
bởi Meo Thi 24/05/2021
Hãy tìm: \(\int {2x{e^{{x^2} + 4}}} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tìm: \(\int {{1 \over {\sin x}}} dx\).
bởi Huong Duong 25/05/2021
Hãy tìm: \(\int {{1 \over {\sin x}}} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tìm: \(\int {{{{e^{ - x}}} \over {1 + {e^{ - x}}}}} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tìm: \(\int {{{{e^{\tan x}}} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tìm: \(\int {{{2x + 4} \over {{x^2} + 4x - 5}}} dx\).
bởi Mai Hoa 24/05/2021
Hãy tìm: \(\int {{{2x + 4} \over {{x^2} + 4x - 5}}} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tìm: \(\int {{x \over {{{\left( {3{x^2} + 9} \right)}^4}}}} dx\).
bởi Nguyễn Minh Hải 25/05/2021
Hãy tìm: \(\int {{x \over {{{\left( {3{x^2} + 9} \right)}^4}}}} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tìm: \(\int {3{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} } dx\).
bởi Kim Xuyen 24/05/2021
Hãy tìm: \(\int {3{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} } dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tìm: \(\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} } dx\).
bởi Nguyễn Anh Hưng 24/05/2021
Hãy tìm: \(\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} } dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(y = {{\sin x} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\).
bởi Phạm Khánh Ngọc 24/05/2021
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(y = {{\sin x} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(y = \sin x\sqrt {2\cos x - 1} \)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(y = {{{x^3}} \over {{{\left( {6{x^4} + 5} \right)}^5}}}\).
bởi Long lanh 25/05/2021
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(y = {{{x^3}} \over {{{\left( {6{x^4} + 5} \right)}^5}}}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {9 - 4x} \right)^{ - 2}}\).
bởi Lê Trung Phuong 24/05/2021
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {9 - 4x} \right)^{ - 2}}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {5x + 2} \right)^{ - 6}}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {7 - 3x} \right)^8}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời