Giải bài 3.4 tr 164 SBT Toán 12
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
a) \(\mathop \smallint \nolimits {x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}dx\) với x > - 1 (đặt \(t = 1 + {x^3}\)
b) \(\mathop \smallint \nolimits x{e^{ - {x^2}}}dx\) (đặt \(t = {x^2}\))
c) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{x}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx\) (đặt \(t = 1 + {x^2}\));
d) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\sqrt x }}dx\) (đặt \(t = \sqrt x \));
e) \(\int {\sin } \frac{1}{x}.\frac{1}{{{x^2}}}dx\) (đặt \(t = \frac{1}{x}\)
g) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}{x}dx\) (đặt \(t = \sqrt x \))
h) \(\int {\frac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx\) (đặt \(t = \cos x\)
Hướng dẫn giải chi tiết
a) \(\mathop \smallint \nolimits {x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}dx\) với x > - 1
Đặt \(t = 1 + {x^3} \Rightarrow dt = 3{x^2}dx\)
Ta có:
\(\mathop \smallint \nolimits {x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}dx = \frac{1}{3}\mathop \smallint \nolimits \sqrt[3]{t}dt = \frac{1}{3}.\frac{3}{4}{t^{\frac{4}{3}}} + C = \frac{1}{4}{(1 + {x^3})^{\frac{4}{3}}} + C\)
b) \(\mathop \smallint \nolimits x{e^{ - {x^2}}}dx\)
Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\)
\(\mathop \smallint \nolimits x{e^{ - {x^2}}}dx = \mathop \smallint \nolimits {e^{ - t}}\frac{{dt}}{2} = - \frac{{{e^{ - t}}}}{2} + C = - \frac{{{e^{ - {x^2}}}}}{2} + C\)
c) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{x}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx\)
Đặt \(t = 1 + {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\)
\(\mathop \smallint \nolimits \frac{x}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx = \mathop \smallint \nolimits \frac{{dt}}{{2{t^2}}} = - \frac{1}{{2t}} + C = - \frac{1}{{2(1 + {x^2})}} + C\)
d) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\sqrt x }}dx\)
Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{{2\sqrt x }}\)
\(\mathop \smallint \nolimits \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\sqrt x }}dx = \mathop \smallint \nolimits \frac{{2dt}}{{1 - {t^2}}} = \mathop \smallint \nolimits \left( {\frac{1}{{1 - t}} + \frac{1}{{1 + t}}} \right)dt = - ln|1 - t| + ln|1 + t| + C\)
\( = ln\left| {\frac{{1 + t}}{{1 - t}}} \right| + C = ln\left| {\frac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}} \right| + C\)
e) \(\int {\sin } \frac{1}{x}.\frac{1}{{{x^2}}}dx\)
Đặt \(t = \frac{1}{x} \Rightarrow dt = - \frac{{dx}}{{{x^2}}}\)
\({\rm{ }}\int {\sin } \frac{1}{x}.\frac{1}{{{x^2}}}dx = - {\rm{ }}\int {\sin } t.dt = \cos t + C = \cos \frac{1}{x} + C\)
g) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}{x}dx\)
Đặt \(t = lnx \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}\)
\(\mathop \smallint \nolimits \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}{x}dx = \mathop \smallint \nolimits {t^2}dt = \frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{{{{(lnx)}^3}}}{3} + C\)
h) \(\int {\frac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx\)
Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx\)
\(\int {\frac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx = \int {\frac{{ - dt}}{{{t^{\frac{2}{3}}}}}} = - 3{t^{\frac{1}{3}}} + C = - 3\sqrt[3]{{\cos x}} + C\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
Bài tập SGK khác
Bài tập 3.2 trang 163 SBT Toán 12
Bài tập 3.3 trang 164 SBT Toán 12
Bài tập 3.5 trang 164 SBT Toán 12
Bài tập 3.6 trang 164 SBT Toán 12
Bài tập 3.7 trang 164 SBT Toán 12
Bài tập 3.8 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.9 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.10 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.11 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.12 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.13 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.14 trang 166 SBT Toán 12
Bài tập 3.15 trang 166 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 141 SGK Toán 12 NC
Bài tập 2 trang 141 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3 trang 141 SGK Toán 12 NC
Bài tập 4 trang 141 SGK Toán 12 NC
Bài tập 5 trang 145 SGK Toán 12 NC
Bài tập 6 trang 145 SGK Toán 12 NC
Bài tập 7 trang 145 SGK Toán 12 NC
-
Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f\left( x \right) = x\sin {x \over 2}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\).
bởi Lan Anh 07/05/2021
Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f\left( x \right) = x\root 4 \of {1 - {x^2}} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {5x + 4} }}\).
bởi Huong Duong 07/05/2021
Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {5x + 4} }}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f\left( x \right) = {{9{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}\).
bởi Ha Ku 07/05/2021
Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f\left( x \right) = {{9{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Khẳng định sau đúng hay sai: Nếu \(f\left( x \right) = \left( {1 - \sqrt x } \right)'\) thì \(\int {f\left( x \right)dx = - \sqrt x } + C?\)
bởi Anh Trần 07/05/2021
Khẳng định sau đúng hay sai: Nếu \(f\left( x \right) = \left( {1 - \sqrt x } \right)'\) thì \(\int {f\left( x \right)dx = - \sqrt x } + C?\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm: \(\int {{{1 + \cos 4x} \over 2}dx.} \)
bởi Thúy Vân 06/05/2021
Tìm: \(\int {{{1 + \cos 4x} \over 2}dx.} \)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm: \(\int {4{{\sin }^2}xdx}\)
bởi Đào Lê Hương Quỳnh 06/05/2021
Tìm: \(\int {4{{\sin }^2}xdx}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm: \(\int {{{x\sqrt x + \sqrt x } \over {{x^2}}}} dx\)
bởi Lam Van 07/05/2021
Tìm: \(\int {{{x\sqrt x + \sqrt x } \over {{x^2}}}} dx\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm: \(\int {\left( {\sqrt x + \root 3 \of x } \right)dx;} \)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = {10^{2x}}.\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = {x^{ - {1 \over 3}}}\).
bởi Thành Tính 06/05/2021
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = {x^{ - {1 \over 3}}}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}} - {x^2} - {1 \over 3}\).
bởi na na 07/05/2021
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}} - {x^2} - {1 \over 3}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 5x + 7\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = 3{x^2} + {x \over 2}\).
bởi Lê Viết Khánh 07/05/2021
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = 3{x^2} + {x \over 2}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{{(2x + 1)}^2}} dx\). Hãy tính \(I\) bằng cách khai triển \({\left( {2x{\rm{ }} + 1} \right)^2}\)
bởi Mai Bảo Khánh 05/05/2021
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{{(2x + 1)}^2}} dx\). Hãy tính \(I\) bằng cách khai triển \({\left( {2x{\rm{ }} + 1} \right)^2}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giả sử ta có f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a), (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm).
bởi can tu 06/05/2021
Giả sử ta có f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a), (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Thực hiện phép tính: \(\int (1-x)\cos xdx\).
bởi lê Phương 05/05/2021
Thực hiện phép tính: \(\int (1-x)\cos xdx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Thực hiện phép tính: \(∫x\sin(2x+1)dx\).
bởi Bin Nguyễn 05/05/2021
Thực hiện phép tính: \(∫x\sin(2x+1)dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Thực hiện phép tính: \(\int {({x^2} + 2x - 1){e^x}dx}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Thực hiện phép tính: \(∫x\ln (1+x)dx\).
bởi thi trang 05/05/2021
Thực hiện phép tính: \(∫x\ln (1+x)dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tính: \(\int \dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\), (đặt \(u= e^x+1\)).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tính: \(∫cos^3xsinxdx\), (đặt \(t = cosx\))
bởi Nguyễn Anh Hưng 05/05/2021
Hãy tính: \(∫cos^3xsinxdx\), (đặt \(t = cosx\))
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tính: \(∫x{(1 + {x^2})^{{3 \over 2}}}dx\), (đặt \(u = 1 + x^2\) )
Theo dõi (0) 1 Trả lời