Giải bài 3.7 tr 164 SBT Toán 12
Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:
a) \(\int {{{\sin }^4}} xdx\) b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^3}x}}dx} \)
c) \(\int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \) d) \(\int {{{\sin }^4}x{{\cos }^4}xdx} \)
Hướng dẫn giải chi tiết
a)Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\sin ^4}x = {\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {1 - 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\
= \frac{1}{4}\left( {1 - 2\cos 2x + \frac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)\\
= \frac{1}{4}\left( {\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{{\cos 4x}}{2}} \right)
\end{array}\)
Suy ra:
\int {{{\sin }^4}xdx} = \frac{1}{4}\int {\left( {\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{{\cos 4x}}{2}} \right)} dx\\
= \frac{1}{4}\int {\frac{3}{2}dx} - \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} + \frac{1}{8}\int {\cos 4xdx} \\
= \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{{32}}\sin 4x + C
\end{array}\)
b) \(I = \int {\frac{1}{{{{\sin }^3}x}}dx} = \int {\frac{{\sin x}}{{{{\sin }^4}x}}dx} = \int {\frac{{\sin x}}{{{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}^2}}}dx} \)
Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\).
Suy ra: \(I = - \int {\frac{{du}}{{{{(1 - {u^2})}^2}}}} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{2}{{1 - {u^2}}} = \frac{1}{{1 - u}} + \frac{1}{{1 + u}}\\
\Rightarrow \frac{4}{{{{\left( {1 - {u^2}} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{1}{{1 - u}} + \frac{1}{{1 + u}}} \right)^2}\\
= \frac{1}{{{{\left( {1 - u} \right)}^2}}} + \frac{2}{{\left( {1 - u} \right)\left( {1 + u} \right)}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + u} \right)}^2}}}\\
= \frac{1}{{{{\left( {1 - u} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + u} \right)}^2}}} + \frac{1}{{1 - u}} + \frac{1}{{1 + u}}
\end{array}\)
Do đó:
I = - \frac{1}{4}\smallint \left[ {\frac{1}{{{{\left( {1 - u} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + u} \right)}^2}}} + \frac{1}{{1 - u}} + \frac{1}{{1 + u}}} \right]du\\
= - \frac{1}{4}\smallint \frac{{du}}{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{4}\smallint \frac{{du}}{{{{\left( {1 + u} \right)}^2}}} - \frac{1}{4}\smallint \frac{{du}}{{1 - u}} - \frac{1}{4}\smallint \frac{{du}}{{1 + u}}\\
= \frac{1}{4}.\frac{1}{{u - 1}} + \frac{1}{4}.\frac{1}{{u + 1}} + \frac{1}{4}.\ln \left| {1 - u} \right| - \frac{1}{4}\ln \left| {1 + u} \right| + C\\
= \frac{1}{4}.\frac{{2u}}{{{u^2} - 1}} + \frac{1}{4}.\ln \left| {\frac{{1 - u}}{{1 + u}}} \right| + C\\
= - \frac{{\cos x}}{{2{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{1 - \cos x}}{{1 + \cos x}}} \right| + C\\
= \frac{{ - \cos x}}{{2{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \frac{x}{2}} \right| + C
\end{array}\)
c)
\(J = \int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} = \int {(1 - {{\cos }^2}x){{\cos }^4}x\sin xdx} \)Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
J = - \mathop \smallint \nolimits \left( {1 - {u^2}} \right){u^4}du = - \mathop \smallint \nolimits \left( {{u^4} - {u^6}} \right)du\\
= - \frac{1}{5}{u^5} + \frac{1}{7}{u^7} + C\\
= - \frac{1}{5}{\cos ^5}x + \frac{1}{7}{\cos ^7}x + C
\end{array}\)
d)
\(\begin{array}{l}
{\sin ^4}x{\cos ^4}x = {\left( {\sin x\cos x} \right)^4} = {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x} \right)^4}\\
= \frac{1}{{16}}{\left( {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{{64}}\left( {1 - 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)\\
= \frac{1}{{64}}\left( {\frac{3}{2} - 2\cos 4x + \frac{1}{2}\cos 8x} \right)
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\int {{{\sin }^4}x{{\cos }^4}xdx} = \frac{1}{{64}}\int {\left( {\frac{3}{2} - 2\cos 4x + \frac{1}{2}\cos 8x} \right)dx} \\
= \frac{1}{{64}}\left( {\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\sin 4x + \frac{1}{{16}}\sin 8x} \right) + C
\end{array}\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
Bài tập SGK khác
Bài tập 3.5 trang 164 SBT Toán 12
Bài tập 3.6 trang 164 SBT Toán 12
Bài tập 3.8 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.9 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.10 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.11 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.12 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.13 trang 165 SBT Toán 12
Bài tập 3.14 trang 166 SBT Toán 12
Bài tập 3.15 trang 166 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 141 SGK Toán 12 NC
Bài tập 2 trang 141 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3 trang 141 SGK Toán 12 NC
Bài tập 4 trang 141 SGK Toán 12 NC
Bài tập 5 trang 145 SGK Toán 12 NC
Bài tập 6 trang 145 SGK Toán 12 NC
Bài tập 7 trang 145 SGK Toán 12 NC
-
Nêu nguyên hàm của một số trường hợp thường gặp
bởi Trịnh Lan Trinh 30/05/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Nêu khái niệm nguyên hàm?
bởi Trần Hoàng Mai 31/05/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm \(f(x) = {\cos ^2}x.\cos 2x\)?
bởi Đính Nguyễn 28/05/2020
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Cho hàm số f=(x) thoả mãn f'=1/2x-1,f=(1). Tính f(5)
bởi Lam Hồ Ban 27/05/2020
Nguyên hàmTheo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Tìm nguyên hàm
bởi Hoàng Nguyễn 23/05/2020
Nguyên hàm của (2x2-1)8x.dx làm ntn ạ
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Câu nào sai?
bởi Xa'Em'z Rồi'x 14/05/2020
Giup ho mjnh may cau trac nghiem nay a
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số e^x.x^2
bởi Quang Trung 11/05/2020
nguye ham ham so e^x×x²Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Nguyên hàm 2x+1/x^2 x+1
bởi Thuy Nguyen 05/05/2020
Nguyên hàm 2x+1/x^2 x+1
Theo dõi (0) 5 Trả lời -
Hàm số F(x)=x-cosx là một nguyên hàm của hàm số nào
bởi Huyền Thương 04/05/2020
giúp mikTheo dõi (0) 1 Trả lời -
Nguyên hàm của 2x/x-1
bởi Kim Yến 01/05/2020
Nguyên hàm của 2x/x-1Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Biết f(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=1/2x-1 và f(1)=10.tinh f(7)Theo dõi (0) 6 Trả lời
-
Tính giá trị của biểu thức S= (A+ B)/C?
bởi Nhung Nguyễn Thị 26/04/2020
Với a,b,m là các số nguyên dương và các phân số là phân số tối giản .Tính giá trị của biểu thức S= (A B)/CTheo dõi (0) 0 Trả lời -
Tính nguyên hàm của hàm số 2^2x
bởi Huyền Trang 20/04/2020
Nguyên hàm của hàm số 2^2xTheo dõi (0) 2 Trả lời -
Tính nguyên hàm x+2/x-1
bởi Hiếu Ánh 19/04/2020
Tính nguyên hàm x+2/x-1
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính nguyên hàm của x^2.(x-1)^9
bởi Lê Mạnh Quân 18/04/2020
Tính nguyên hàm sauTheo dõi (0) 1 Trả lời -
Nguyên hàm (x+1).ln3x
bởi ngô thị yến hồng 17/04/2020
Nguyên hàm (x+1).ln3x
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Mệnh đề nào sau đây sai?
bởi Hoàng Nguyệt 16/04/2020
Trả lời câu hỏi và kèm theo lời giải
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Tính \(\int {x\sin \frac{x}{2}dx} \)?
bởi Nga Tuyết 14/04/2020
Theo dõi (0) 2 Trả lời -
Khi đó I là?
bởi Lê Hồng Khánh 14/04/2020
Theo dõi (1) 1 Trả lời -
Tính tích phân (1/(x^2-x-2)dx
bởi Minh Hương 14/04/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tích phân của cot^6(x)
bởi Höàŋġ Ťräï 14/04/2020
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của (2x+1-4/3x-2)
bởi Nguyễn Ngọc Tuyết 13/04/2020
Theo dõi (0) 2 Trả lời -
Tính \(g(x) = \int {\left( {\frac{{10{x^2} - 7x + 2}}{{\sqrt {2x - 1} }}} \right)} dx\)?
bởi Thư Võ 12/04/2020
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Tính \(y = \int {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx} \)?
bởi Thư Võ 11/04/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời