Giải bài tập SGK Ôn tập chương 3 - Hình học 11 Cơ bản & Nâng cao

Nhắc lại định nghĩa vectơ không gian. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Hãy kể tên những vectơ bằng \(\overrightarrow{AA'}\) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ.

Trong không gian cho ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b},\vec{c}\) đều khác vectơ không . Khi nào ba véc tơ đó đồng phẳng?

Trong không gian, hai đường thẳng không cắt nhau có thể vuông góc nhau không? Giả sử hai đường thẳng a, b lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec u\) và \(\vec v\). Khi nào ta có thể kết luận a và b vuông góc nhau?

Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) có cần chứng minh a vuông góc với mọi đường thẳng của \((\alpha )\) hay không?

Nhắc lại nội dung định lí ba đường thẳng vuông góc.

Nhắc lại định nghĩa:

a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

b) Góc giữa hai mặt phẳng.

Muốn chứng minh mặt phẳng \((\alpha )\) vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\) thì phải chứng minh như thế nào?

Hãy nêu cách tính khoảng cách:

a) Từ một điểm đến một đường thẳng;

b) Từ đường thẳng a đến mặt phẳng \((\alpha )\) song song với a;

c) Giữa hai mặt phẳng song song.

Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau này bằng những cách nào?

Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác ABC là đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song;

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song;

c) Mặt phẳng (\(\alpha\)) vuông góc với đường thẳng b và b vuông góc với thẳng a, thì a song song với (\(\alpha\)​).

d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song.

e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.

Các điều khẳng định sau đây, điều nào đúng?

a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại.

b) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác cho trước.

d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Mặt phẳng (\(\alpha\)) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, AC, SD tại B', C', D'. Chứng minh B'D' song song với BD và AB' vuông góc với SB.

 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc \(\widehat{BAD} = 60^o\). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SO = \frac{3a}{4}\). Gọi E là trung điểm của đoạn BC và F là trung điểm của đoạn BE.

a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A có A vuông tại D có CD = a.

a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC là các tam giác vuông.

b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của Ad và BC. Chứng minh IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.

Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D'cạnh a.

a) Chứng minh BC' vuông góc với mặt phẳng (A'B'CD).

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB' và BC'.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc \(\widehat{BAD}=60^0\) và \(SA=SB=SD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh SB vuông góc với SC.

d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tan φ.

Trong các khẳng định sau đây khẳng định nào đúng? khẳng định nào sai?

a) Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với b.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

c) Một mặt phẳng (α) và một đường thẳng a cùng vuông góc với đường thằng b thì a // (α).

d) Hai mặt phẳng (α) và (β) phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng (γ) thì (α) // (β).

e) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

f) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.

Xét các khẳng định sau đây xem khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

b) Qua một đường thẳng, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

c) Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

d) Cho hai đường thẳng a và b. Nếu có mặt phẳng (α) không chứa cả a và b thì a và b chéo nhau.

Trên mặt phẳng (α) cho hình vuông ABCD. Các tia Ax, By, Cz, Dt vuông góc với mặt phẳng (α) và nằm về một phía đối với mặt phẳng (α). Một mặt phẳng (β) lần lượt cắt Ax, By, Cz, Dt tại A', B', C', D'.

a) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì? Chứng minh rằng AA′ + CC′ = BB′ + DD′ = 2OO′.

b) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình thoi là nó có hai đỉnh đối diện cách đều mặt phẳng (α).

c) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình chữ nhật là nó có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng (α).

Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 7a, có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SC = 7a.

a) Tính góc giữa SA và BC.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC.

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi AC² + BD² = AD² + BC²

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Hãy tính góc của các cặp đường thẳng sau đây:

a) AB' và BC'

b) AC' và CD'

Cho hai tia Ax và By vuông góc với nhau nhận AB làm đoạn vuông góc chung. Gọi M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax và By sao cho AM + BN = MN.

Đặt AB = 2a, gọi O là trung điểm của AB và H là hình chiếu vuông góc điểm O trên đường thẳng MN

a) Chứng minh rằng OH = a, HM = AN, HN = BN.

b) Gọi Bx' là tia song song và cùng chiều với tia Ax và K là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (Bx'; By). Chứng minh BK là phân giác của góc ∠x'By.

c) Chứng minh điểm H nằm trên một đường tròn cố định.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC.

a) Chứng minh AC ⊥ SD

b) Chứng minh MN ⊥ (SBD)

c) Cho AB = SA = a. Tính côsin của góc giữa (SBC) và (ABCD).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy.

a) Chứng minh tam giác SBC vuông

b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC.

Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH)

c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(BAD = {60^0}\), SA = SB = SD = a.

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).

b) Chứng minh tam giác SAC vuông.

c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).

Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và các cạnh OA = OB = OC = a, gọi I là trung điểm BC.

a) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI), (OAI) ⊥ (ABC).

b) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).

c) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD).

a) Chứng minh BD ⊥ SC.

b) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC).

c) Cho \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' với tâm O. Đẳng thức nào sau đây là Sai?

A. \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \)

B. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC'}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {D'A}  = \overrightarrow 0 \)

C. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DD'} \)

D. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AD'}  + \overrightarrow {D'O}  + \overrightarrow {OC'} \)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c ,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow d \). Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

B. \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  + \overrightarrow d  = \overrightarrow 0 \)

C. \(\overrightarrow b  + \overrightarrow d  - \overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \)

D. \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \overrightarrow d \)

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây Sai?

A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{{a^2}}}{2}\)

B. \(AB\bot CD\) hay \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow 0 \)

C. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

D. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC} \) thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \).

C. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} \)

Khẳng định nào sau đây là Sai?

A. Ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng nếu có một trong ba vectơ đó bằng vectơ  \(\overrightarrow 0\).

B. Ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương.

C. Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D' ba vectơ \(\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {C'A'} ,\overrightarrow {DA'} \) đồng phẳng.

D. Vectơ \(\overrightarrow x  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c \) luôn đồng phẳng với hai vectơ  \(\overrightarrow a\) và  \(\overrightarrow b\).

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây là Sai?

A. \(\overrightarrow {AC'}  = a\sqrt 3 \)

B. \(\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {AB'}  = {a^2}\)

C. \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {CD'}  = 0\)

D. \(2\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {B'C'}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {D'A'}  = \overrightarrow 0 \)

Khẳng định nào sau đây là Sai?

A. Cho hai vectơ không cùng phương a→ và b→. Khi đó ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho \(\overrightarrow c  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b \), ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

B. Nếu có \(m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \) và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng.

C. Ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá trị thuộc một mặt phẳng.

D. Ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.

Cho hai điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OB}  = k\overrightarrow {BA} \)

B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OB}  = k\left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} } \right)\)

C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM}  = k\overrightarrow {OA}  + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {OB} \)

D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

D. Mặt phẳng (α) và đường thẳng a cùng vuông góc với đường thẳng b thì song song với nhau.

Với a, b, c là các đường thẳng, khẳng định nào sau đây là Sai?

A. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a // c;

B. Nếu a// b và b ⊥ c thì a ⊥ c;

C. Nếu a vuông góc với mặt phẳng (α) và b song song với mặt phẳng (α) thì a ⊥ b;

D. Nếu a ⊥ b, c ⊥ b và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng (a, c)

Cho các mệnh đề sau với (α) và (β) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau với giao tuyến m = (α) ∩ (β) và a, b, c, d là các đường thẳng. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu a ⊂ (α) và a ⊥ m thì a ⊥ (β).

B. Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (α) hoặc b ⊂ (β).

C. Nếu c // m thì c // (α) hoặc c // (β).

D. Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (α)

Cho a, b, c là các đường thẳng. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu a ⊥ b và mặt phẳng (α) chứa a; mặt phẳng (β) chứa b thì (α) ⊥ (β)

B. Cho a ⊥ b và b nằm trong mặt phẳng (α). Mọi mặt phẳng (β) chứa a và vuông góc với b thì (β) ⊥ (α)

C. Cho a ⊥ b. Mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a.

D. Cho a // b. Mọi mặt phẳng (α) chứa c trong đó c ⊥ a và c ⊥ b thì đều vuông góc với mặt phẳng (a, b).

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Qua một đường thẳng, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác.

B. Qua một điểm duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng (α) chứa a và mặt phẳng (β) chứa b thì (α) ⊥ (β).

D. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a ⊥ b. Luôn có mặt phẳng (α) chứa a để (α) ⊥ b.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng (α) chứa a và mặt phẳng (β) chứa b thì (α) ⊥ (β)

B. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α), mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β)⊥(α)

C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường này thì song song với đường kia.

D. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có một mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường thẳng kia.

Cho tứ diện đều ABCD. Khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (ABC) KHÔNG BẰNG độ dài đoạn thẳng nào dưới đây?

A. Đoạn nối từ D đến trọng tâm của tam giác ABC

B. Đoạn nối từ D đến hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (ABC)

C. Đoạn nối từ D đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

D. Đoạn nối từ D đến trung điểm của đoạn AM với M là trung điểm của đoạn BC.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BD) bằng \(\frac{a}{3}\)

B. Độ dài đoạn AC' bằng \(a\sqrt 3 \)

C. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (CDD'C') bằng \(a\sqrt 2 \)

D. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC'B') bằng \(\frac{{3a}}{2}\).

 Khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a là

A. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)           B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\frac{{2a}}{3}\)            D. 2a

Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ đỉnh S tới mặt phẳng đáy là

A. 1,5a          B. a          C. \({a\sqrt 2 }\)          D. \({a\sqrt 3 }\)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng a và b chéo nhau là một đường thẳng d vừa vuông góc với a và vừa vuông góc với b.

B. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn nối hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường ấy là ngược lại.

C. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường vuông góc chung luôn luôn nằm trong mặt phẳng vuông góc với a và chứa đường thẳng b.

D. Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không song song với nhau.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có ba kích thước AB = a, AD = b, AA' = c. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A. Độ dài đường chéo BD' bằng \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}\)

B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC' bằng b.

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB' và DD' bằng \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

D. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BD) bằng \(\frac{1}{3}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}\)

Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = {60^0},\widehat {BOC} = {90^0}\)

a. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông và OA ⊥ BC

b. Tìm đường vuông góc chung IJ của OA và BC ; tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.

c. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ABC) và (OBC) vuông góc với nhau.

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, \(\widehat {ASB} = {120^ \circ },\widehat {BSC} = {60^ \circ },\widehat {CSA} = {90^ \circ }\)

a. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông

b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên cạnh CB và CD, đặt CM = x, CN = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để :

a. Hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 45⁰

b. Hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.

Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mp(P), cạnh AB và AC lần lượt tạo với mp(P) các góc β và γ. Gọi α là góc tạo bởi mp(P) và mp(ABC).

Chứng minh rằng \(si{n^2}\alpha  = si{n^2}\beta  + si{n^2}\gamma \)

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính diện tích các tam giác HAB, HBC và HCA.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh C, CA = a, CB = b ; mặt bên ABB’A’ là hình vuông. Gọi P là mặt phẳng đi qua C và vuông góc với AB’.

a. Xác định thiết diện của hình lăng trụ đã cho khi cắt bởi (P). Thiết diện là hình gì ?

b. Tính diện tích thiết diện nói trên.

Một tứ diện được gọi là gần đều nếu các cạnh đối bằng nhau từng đôi một. Với tứ diện ABCD, chứng tỏ các tính chất sau là tương đương :

a. Tứ diện ABCD là gần đều ;

b. Các đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện đôi một vuông góc với nhau ;

c. Các trọng tuyến (đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện) bằng nhau ;

d. Tổng các góc tại mỗi đỉnh bằng 180⁰

Cho tứ diện ABCD. Cắt tứ diện đó theo các cạnh đó theo các cạnh AB, AC, AD và trải các mặt ABC, ACD, ADB lên mặt phẳng (BCD) (xem hình 133). Hình phẳng gồm các tam giác BCD, A₁BC, A₂CD, A₃BD gọi là hình khai triển của tứ diện ABCD trên mặt phẳng (BCD).

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây là sai ?

A. \(\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right)\)

B. \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\)

C. \(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\)

D. \(\overrightarrow {AG}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\)

Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau ;

B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau ;

C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia ;

D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.

Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P), trong đó a ⊥ (P). Mệnh đề nào sau đây là sai ?

A. Nếu b // (P) thì b ⊥ a

B. Nếu b ⊥ (P) thì b // a

C. Nếu b // a thì b ⊥ (P)

D. Nếu b ⊥ a thì b // (P)

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song ;

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song ;

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song ;

D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia ;

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau ;

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau ;

D. Ba mệnh đề trên đều sai.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước ;

B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước ;

C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước ;

D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :

A. Nếu hình hộp có hai mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật ;

B. Nếu hình hộp có ba mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật ;

C. Nếu hình hộp có bốn mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật ;

D. Nếu hình hộp có năm mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. Nếu hình hộp có hai mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương ;

B. Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương ;

C. Nếu hình hộp có sáu mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương ;

D. Nếu hình hộp có bốn đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập phương.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :

A. S.ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên của nó là tam giác cân ;

B. S.ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên của nó là tam giác cân với đỉnh S ;

C. S.ABC là hình chóp đều nếu góc giữa các mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng chứa đáy bằng nhau ;

D. S.ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên có diện tích bằng nhau.

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :

A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia ;

B. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia ;

C. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó ;

D. Các mệnh đề trên đều sai.

Hình tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc là AB = AC = AD = 3.

Diện tích tam giác BCD bằng

A. \(\frac{{9\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\frac{{9\sqrt 2 }}{3}\)

C. 27

D. \(\frac{{27}}{2}\)

Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = AD = a và \(\widehat {A'AB} = \widehat {A'AD} = \widehat {BAD} = {60^ \circ }\)$.$ Khi đó, khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện AA’BD bằng :

A. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(a\sqrt 2 \)

D. \(\frac{{3a}}{2}\)