Bài tập 3.44 trang 162 SBT Hình học 11

a) Gọi H là trung điểm của đoạn BC. Qua A vẽ AD song song với BC và bằng HC thì góc giữa BC và SA là góc \(\widehat {SAD}\).

Theo định lí ba đường vuông góc, ta có SD ⊥ DA và khi đó:

\(\cos \widehat {SAD} = \frac{{AD}}{{SA}} = \frac{{HC}}{{SA}} = \frac{{\frac{{7a}}{2}}}{{7a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

Vậy góc giữa BC và SA được xác định sao cho \(\cos \widehat {SAD} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

b) Vì BC // AD nên BC // mp(SAD). Do đó \(d\left( {SA,BC} \right) = d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right)\).

Kẻ CK ⊥ SD ⇒ CK ⊥ (SAD), do đó CK chính là khoảng cách nói trên.

Xét tam giác vuông SCD với đường cao CK xuất phát từ đỉnh góc vuông C ta có hệ thức:

\(\frac{1}{{C{K^2}}} = \frac{1}{{S{C^2}}} + \frac{1}{{C{D^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {7a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{7a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}\)

(vì \(CD = AH = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{7a\sqrt 3 }}{2}\))

Do đó \(\frac{1}{{C{K^2}}} = \frac{1}{{21{a^2}}} \Rightarrow C{K^2} = a\sqrt {21} \)

Vậy \(d\left( {SA,BC} \right) = a\sqrt {21} \).

-- Mod Toán 11 HỌC247