Bài tập 7 trang 121 SGK Hình học 11 NC

* Chứng minh a ⇔ b

Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.

a) ⇒ b)

Do AC = BD nên MNPQ là hình thoi, vì thế MN ⊥ PQ. Tương tự ta có MN ⊥ EF, PQ ⊥ EF.

b) ⇒ a)

MPNQ là hình bình hành mà MN ⊥ PQ nên MPNQ là hình thoi, tức là MP = MQ, từ đó AC = BD.

Tương tự như trên, ta cũng có BC = AD, AB = CD.

* Chứng minh a ⇔ c

Gọi A’, B’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD và ACD.

a) ⇒ c)

Ta có ΔBCD = ΔADC (c.c.c) nên BN = AN, từ đó A’N = B’N.

Vậy ΔAA’N = ΔBB’N (c.g.c), suy ra AA’ = BB’.

Tương tự như trên, ta có điều phải chứng minh.

c) ⇒ a)

Do giả thiết ta có BB’ = AA’, mà AA’ cắt BB’ tại G, AG = 3GA’, BG = 3GB’ (xem BT 22, chương II, SGK), từ đó BG = AG và GA’ = GB’. Các tam giác BGA’ và AGB’ bằng nhau nên BA’ = AB’.

Như vậy BN = AN, mà :

\(\begin{array}{l}
A{C^2} + A{D^2} = 2A{N^2} + \frac{{C{D^2}}}{2}\\
B{C^2} + B{D^2} = 2B{N^2} + \frac{{C{D^2}}}{2}
\end{array}\)

Do đó: 

\(A{C^2} + A{D^2} = B{C^2} + B{D^2}\) (1)

Tương tự như trên ta có: \

(C{A^2} + C{B^2} = D{A^2} + D{B^2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = BC và AC = BD.

Tương tự như trên ta cũng có AB = CD.

* Chứng minh a ⇔ d

a) ⇒ d)

Do sự bằng nhau của các tam giác ABC, CDA, BAD với tam giác DCB nên tổng các góc tại B bằng 180˚

Đối với các đỉnh còn lại cũng được lí luận tương tự như trên

d) ⇒ a)

Trải các mặt ABC, ACD, ABD lên mặt phẳng (BCD).

Do tổng các góc tại B cũng như tại C, tại D đều bằng 180⁰ nên các bộ ba điểm A₁, C, A₂; A₂, D, A₃; A₃, B, A₁ là những bộ ba điểm thẳng hàng.

Như vậy, BC, CD, BD là ba đường trung bình của tam giác A₁A₂A₃.

Từ đó BD = A₁C = CA₂ = CA. Tương tự ta cũng có AD = BC, CD = AB.

-- Mod Toán 11 HỌC247