Bài tập 7 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Câu a:

Ta có \(u_{n+1}-u_n=\left ( n+1+\frac{1}{n+1} \right )-\left ( n+\frac{1}{n} \right )= 1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\)

\(=\frac{n^2+n+n-n-1}{n(n+1)}=\frac{n^2+n-1}{n(n+1)}> 0 \ \ \forall n\in \mathbb{N}^*\)

\(\Rightarrow (u_n)\) là dãy tăng.

Ta có \(u_n=n+\frac{1}{n}>0\Rightarrow (u_n)\) bị chặn dưới, nhưng (un) không bị chặn trên \(\Rightarrow (u_n)\) không bị chặn.

Câu b:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = {\left( { - 1} \right)^0}\sin 1 = \sin 1 > 0\\
{u_2} = {\left( { - 1} \right)^1}.\sin \frac{1}{2} =  - \sin \frac{1}{2} < 0\\
{u_3} = {\left( { - 1} \right)^2}.\sin \frac{1}{3} =  - \sin \frac{1}{3} > 0
\end{array}\)

⇒ u₁ > u₂ và u₂ < u₃

Dãy \((u_n)\) không tăng và không giảm.

Ta có \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}sin\frac{1}{n}} \right| = \left| {sin\frac{1}{n}} \right| \le 1 \Leftrightarrow  - 1 \le {u_n} \le 1,u \in {^*}\)

\(\Rightarrow (u_n)\) bị chặn và không đơn điệu 

Câu c:

Ta có

\(u_{n+1}-u_n =(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)

\(=\sqrt{n+2}+\sqrt{n}-2\sqrt{n+1} \ (1)\)

Ta chứng minh \(\sqrt{n+2}+\sqrt{n}-2\sqrt{n+1} < 0 \ (2)\)

Thật vậy ta có \((2)\Leftrightarrow \sqrt{n+2}+\sqrt{n}<2\sqrt{n+1}\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 2\sqrt {n(n + 2)}  < 2n + 2\\
 \Leftrightarrow \sqrt {n(n + 2)}  < n + 1\\
 \Leftrightarrow {n^2} + 2n < {n^2} + 2n + 1\\
 \Leftrightarrow 0 < 1(LD)
\end{array}\)

⇒ (2) đúng.

Từ (1), (2) \(\Rightarrow u_{n+1}-u_n<0\)

\(\Rightarrow (u_n)\) dãy số giảm.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  = \frac{{n + 1 - n}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\\
 = \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > 0,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)

⇒ u_n là dãy số bị chặn dưới.

Lại có: với \(n \ge 1\) thì \(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  \ge \sqrt 2  + 1\)

\( \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \le \frac{1}{{\sqrt 2  + 1}}\)

Suy ra un là dãy số bị chặn trên

Vậy un là dãy số giảm và bị chặn

-- Mod Toán 11 HỌC247