Bài tập 3.40 trang 133 SBT Toán 11

a) Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11

b) Từ công thức xác định dãy số ta có

u_n+1 = 2u_n – u_n-1 + 1 hay u_n+1 − u_n = u_n − u_n−1 + 1    (1)

Vì v_n = u_n+1 − u_n nên từ (1), ta có

v_n = v_n−1 + 1 với n ≥ 2  

Vậy (v_n) là cấp số cộng với v₁ = u₂ − u₁ = 1 công sai d = 1.

c) Để tính u_n, ta viết:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{v_1} = 1}\\
{{v_2} = {u_3} - {u_2}}\\
{{v_3} = {u_4} - {u_3}}\\
{...}\\
{{v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}}\\
{{v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}}
\end{array}\)

Cộng từng vế của phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}
{v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 - {u_2} + {u_n} = {u_n} - 1\\
 \Rightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = {u_n} - 1\\
 \Rightarrow {u_n} = 1 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}
\end{array}\)

(Vế phải là tổng n−1 số hạng đầu của cấp số cộng v_n).

-- Mod Toán 11 HỌC247