Bài tập 44 trang 122 SGK Toán 11 NC

+ Với n = 2 ta có:

\({1.2^2} = \frac{{2\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {3.2 + 2} \right)}}{{12}} = 4\)

Vậy (1) đúng với n = 2.

+ Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right).{k^2} = \frac{{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{{12}}\)  

+ Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1

\(\begin{array}{l}
{1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right).{k^2} + k{\left( {k + 1} \right)^2}\\
 = \frac{{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{{12}} + k{\left( {k + 1} \right)^2}\\
 = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12\left( {k + 1} \right)} \right]}}{{12}}\\
 = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 11k + 10} \right)}}{{12}}\\
 = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left[ {3k\left( {k + 2} \right) + 5\left( {k + 2} \right)} \right]}}{{12}}\\
 = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 2} \right]}}{{12}}
\end{array}\)

Điều đó chứng tỏ (1) đúng với n = k+1

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n ≥ 2.

-- Mod Toán 11 HỌC247