Bài tập 3.38 trang 132 SBT Toán 11

a) Với n = 1, ta có: \(\frac{{1.(1 + 3)}}{{4.(1 + 1)(1 + 2)}} = \frac{4}{{4.2.3}} = \frac{1}{{1.2.3}} = {A_1}\)

Giả sử ta có: \(Ak = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + ... + \frac{1}{{k(k + 1)(k + 2)}} = \frac{{k(k + 3)}}{{4(k + 1)(k + 2)}}\)

Ta chứng minh đẳng thức đúng với n = k+1.

Ta có :

\(\begin{array}{l}
{A_{k + 1}} = {A_k} + \frac{1}{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}\\
 = \frac{{k(k + 3)}}{{4(k + 1)(k + 2)}} + \frac{1}{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}\\
 = \frac{{k{{(k + 3)}^2} + 4}}{{4(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}\\
 = \frac{{k({k^2} + 6k + 9) + 4}}{{4(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}\\
 = \frac{{{{(k + 1)}^2}(k + 4)}}{{4(k + 1)(k + 2)(k + 3)}} = \frac{{(k + 1)(k + 4)}}{{4(k + 2)(k + 3)}}
\end{array}\)

Vậy đẳng thức đúng với n = k+1.

Ta được điều phải chứng minh.

b) Với n = 1 ta có \(\frac{{1\left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 2} \right)}}{6} = 1 = {B_1}\)

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là: \({B_k} = 1 + 3 + 6 + ... + \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6}\)

Ta chứng minh đẳng thức đúng với n = k+1, tức là:

\({A_{k + 1}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{6}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{A_{k + 1}} = {A_k} + \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}\\
 = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6} + \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}\\
 = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{6}
\end{array}\)

Vậy khẳng định trên đúng với mọi n ∈ N^∗

c) Với n = 1, ta có: \(\frac{{\sin \frac{x}{2}.\sin x}}{{\sin \frac{x}{2}}} = \sin x = {S_1}\)

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là: \({S_k} = \frac{{\sin \frac{{kx}}{2}.\sin \frac{{\left( {k + 1} \right)}}{2}x}}{{\sin \frac{x}{2}}}\)

Ta chứng minh hệ thức đúng với n = k+1. Ta có:

\(\begin{array}{l}
{S_{k + 1}} = {S_k} + \sin (k + 1)x\\
 = \frac{{\sin \frac{{kx}}{2}.\sin \frac{{(k + 1)x}}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}} + 2\sin \frac{{(k + 1)x}}{2}\cos \frac{{(k + 1)x}}{2}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
 = \sin \frac{{(k + 1)x}}{2}.\frac{{\sin \frac{{kx}}{2} + 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{{(k + 1)}}{2}x}}{{\sin \frac{x}{2}}}\\
 = \sin \frac{{(k + 1)x}}{2}.\frac{{\sin \frac{{kx}}{2} - \sin \frac{{kx}}{2} + \sin \frac{{(k + 2)x}}{2}}}{{\sin x2}}\\
 = \frac{{\sin \frac{{(k + 1)x}}{2}\sin \frac{{(k + 2)x}}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}}
\end{array}\)

Vậy khẳng định đúng với mọi n ∈ N*

-- Mod Toán 11 HỌC247