OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Bài tập 3.41 trang 133 SBT Toán 11

Giải bài 3.41 tr 133 SBT Toán 11

Cho dãy số (): \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = \frac{1}{3}\\
{u_{n + 1}} = \frac{{(n + 1){u_n}}}{{3n}},\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Lập dãy số () với \({v_n} = \frac{{{u_n}}}{n}\);

Chứng minh  dãy số () là cấp số nhân

c) Tìm công thức tính  theo 

AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Năm số hạng đầu của dãy số là \(\frac{1}{3},\frac{2}{9},\frac{1}{9},\frac{4}{{81}},\frac{5}{{243}}\)

b) Để chứng minh () là cấp số nhân ta chỉ ra tỉ số \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}}\) là hằng số

Ta có:

\(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}:\frac{{{u_n}}}{n} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}.\frac{n}{{n + 1}}\,\,\left( 1 \right)\)

Mà theo giả thiết ta có: 

\({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{3n}} \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}\)

Suy ra \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}.\frac{n}{{n + 1}} = \frac{1}{3}\)

Do đó, () là cấp số nhân có \({v_1} = \frac{1}{3},q = \frac{1}{3}\)

c) Để tính ta viết tích của  tỉ số:

\(\frac{{{v_n}}}{{{v_{n - 1}}}}.\frac{{{v_{n - 1}}}}{{{v_{n - 2}}}}...\frac{{{v_3}}}{{{v_2}}}.\frac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} \Rightarrow \frac{{{v_n}}}{{{v_1}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\)

Suy ra \({v_n} = \frac{1}{3}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{3^n}}} \Rightarrow \frac{{{u_n}}}{n} = \frac{1}{{{3^n}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 3.41 trang 133 SBT Toán 11 HAY thì click chia sẻ 
 
 

Bài tập SGK khác

NONE
OFF