Bài tập 3.49 trang 134 SBT Toán 11

Đặt \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\)

Phương trình trở thành: 

\({t^2} - \left( {3m + 5} \right)t + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\,\,( * )\)

Để phương trình đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt:

\(\begin{array}{l}
{\rm{\Delta }} = {\left( {3m + 5} \right)^2} - 4{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\
 \Leftrightarrow 5{m^2} + 22m + 21 > 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m <  - 3\\
m >  - \frac{7}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giả sử hai nghiệm dương của phương trình (*) là \({t_1},{t_2}({t_1} < {t_2})\)

Bốn nghiệm của phương trình ban đầu lần lượt là: \( - \sqrt {{t_2}} ; - \sqrt {{t_1}} ;\sqrt {{t_1}} ;\sqrt {{t_2}} \)

Điều kiện để bốn nghiệm lập thành cấp số cộng là: 

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{t_2}}  - \sqrt {{t_1}}  = 2\sqrt {{t_1}} \\
 \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}}  = 3\sqrt {{t_1}}  \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}
\end{array}\)

Kết hợp với  hệ thức Vi – ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} = 3m + 5\\
{t_1}{t_2} = {\left( {m + 1} \right)^2}\\
{t_2} = 9{t_1}
\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình được m = 5 và \(m =  - \frac{{25}}{{19}}\).

2519

-- Mod Toán 11 HỌC247