Giải bài tập SGK Chương Toán 10 Cơ bản & Nâng cao

Hãy nêu định nghĩa của sinα, cosα và giải thích vì sao ta có:

sin(α +k2 π)=sinα; k ∈ Z

cos(α +k2 π)=cosα; k ∈ Z

Nêu định nghĩa của tanα , cotα và giải thích vì sao ta có:

tan(α + kπ) = tanα, k ∈ Z;

cot(α + kπ) = cotα, k ∈ Z

Tính

a) \(\sin \alpha \) với \(\cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \)

b) \(\cos \alpha \) với \(\tan \alpha  = 2\sqrt 2 \) và \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)

c) \(\tan \alpha \) với \(\sin \alpha  =  - \frac{2}{3}\) và \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi \)

d) \(\cot \alpha \) với \(\cos \alpha  =  - \frac{1}{4}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \)

Rút gọn các biểu thức

\(\begin{array}{l}
{\rm{a)}}\frac{{2\sin 2\alpha  - \sin 4\alpha }}{{2\sin 2\alpha  + \sin 4\alpha }}\\
{\rm{b)tan}}\left( {\frac{{1 + {{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha }} - \sin \alpha } \right)\\
{\rm{c)}}\frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)}}{{\sin \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) - {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)}}\\
{\rm{d)}}\frac{{\sin 5\alpha  - \sin 3\alpha }}{{2\cos 4\alpha }}
\end{array}\)

Không sử dụng máy tính, hãy tính 

\(\begin{array}{l}
a)\cos \frac{{22\pi }}{3}\\
b)\sin \frac{{23\pi }}{4}\\
c)\sin \frac{{25\pi }}{3} - \tan \frac{{10\pi }}{3}\\
d){\cos ^2}\frac{\pi }{8} - {\sin ^2}\frac{\pi }{8}
\end{array}\)

Không sử dụng máy tính hãy chứng minh

a) sin75° + cos75° = √6/2
b) tan267° + tan93° = 0
c) sin65° + sin55° = √3cos5°
d) cos12° – cos48° = sin18°

Chứng minh các đồng nhất thức

\(\begin{array}{l}
a)\frac{{1 - \cos x + \cos 2x}}{{\sin 2x - \sin x}} = \cot x\\
b)\frac{{\sin x + \sin \frac{x}{2}}}{{1 + \cos x + \cos \frac{x}{2}}} = \tan \frac{x}{2}\\
c)\frac{{2\cos 2x - \sin 4x}}{{2\cos 2x + \sin 4x}} = {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\\
d)\tan x - \tan y = \frac{{\sin \left( {x - y} \right)}}{{\cos x.\cos y}}
\end{array}\)

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x

\(\begin{array}{l}
a)A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\\
b)B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\\
c)C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\\
d)D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x
\end{array}\)

Giá trị sin 47π/6 là:

\(\begin{array}{l}
{\rm{A}}{\rm{.}}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
{\rm{B}}{\rm{.}}\frac{1}{2}\\
{\rm{C}}{\rm{.}}\frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
{\rm{D}}{\rm{. - }}\frac{1}{2}
\end{array}\)

Cho cosα = -√5/3 với π < α < 3π/2 . Giá trị tanα là

\(\begin{array}{l}
{\rm{A}}{\rm{.}}\frac{{ - 4}}{{\sqrt 5 }}\\
{\rm{B}}{\rm{.}}\frac{2}{{\sqrt 5 }}\\
{\rm{C}}{\rm{. - }}\frac{2}{{\sqrt 5 }}\\
{\rm{D}}{\rm{. - }}\frac{3}{{\sqrt 5 }}
\end{array}\)

Cho a = 5π/6 . Giá trị của biểu thức cos3a + 2cos(π – 3a)sin² (π/4 – 1,5a) là:

\(\begin{array}{l}
{\rm{A}}{\rm{.}}\frac{1}{4}\\
{\rm{B}}{\rm{.}}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
{\rm{C}}{\rm{.0}}\\
{\rm{D}}{\rm{.}}\frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}
\end{array}\)

Giá trị của biểu thức A là:

\(\begin{array}{l}
A = \frac{{2{{\cos }^2}\frac{\pi }{8} - 1}}{{1 + 8{{\sin }^2}\frac{\pi }{8}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\frac{\pi }{8}}}\\
{\rm{A}}{\rm{. - }}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
{\rm{B}}{\rm{.}} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\\
{\rm{C}}{\rm{. - }}\frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
{\rm{D}}{\rm{.}}\frac{{\sqrt 2 }}{4}
\end{array}\)

Cho cot a=1/2. Giá trị của biểu thức \(B = \frac{{4\sin a + 5\cos a}}{{2\sin a - 3\cos a}}\) là:

\(\begin{array}{l}
{\rm{A}}{\rm{.}}\frac{1}{{17}}\\
{\rm{B}}{\rm{.}}\frac{5}{9}\\
{\rm{C}}{\rm{.}}1{\rm{3}}\\
{\rm{D}}{\rm{.}}\frac{2}{9}
\end{array}\)

Cho tan a=2. Giá trị của biểu thức \(C = \frac{{\sin a}}{{{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}}\) là:

\(\begin{array}{l}
{\rm{A}}{\rm{.}}\frac{5}{{12}}\\
{\rm{B}}{\rm{.1}}\\
{\rm{C}}{\rm{. - }}\frac{8}{{11}}\\
{\rm{D}}. - \frac{{10}}{{11}}
\end{array}\)

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng, đẳng thức nào sai?

a) sin(x + \(\frac{\pi }{2}\)) = cosx;

b) cos(x + \(\frac{\pi }{2}\)) = sinx;

c) sin(x - π) = sinx;

d) cos(x - π) = cosx

Tồn tại hay không góc α sao cho

a) sinα = - 1 ;             b) cosα = 0;

c) sinα = - 0,9 ;          d) cosα = - 1,2;

e) sinα = 1,3 ;            e) cosα = -2.

Không dùng bảng số và máy tính, hãy xác định dấu của sinα và cosα với

a) α = 135ο          b) α = 210^ο

c) α = 334^ο          d) α = 1280^ο

e) α = -235^ο         e) α = -1876^ο

Hãy viết theo thứ tự tăng dần các giá trị sau (không dùng bảng số và máy tính)

a) sin 40^ο, sin 90^ο, sin 220^ο, sin 10^ο;

b) cos 15^ο, cos 0^ο, cos 90^ο, cos 138^ο.

Hãy xác định dấu của các tích (không dùng bảng số và máy tính)

a) sin 110^ο cos 130^ο cos 30^ο cot 320^ο

b) sin(-50^ο) tan 170^ο cos(-91^ο) sin 530^ο.

Cho tam giác ABC. Hỏi tổng sinA + sinB + sinC âm hay dương

Tính các giá trị lượng giác của cung α biết:

a) \(\sin \alpha  = 0,6\) khi \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\)

b) \(\cos \alpha  =  - 0,7\) khi \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \)

c) \(\tan \alpha  = 2\) khi \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)

d) \(\cot \alpha  =  - 3\) khi \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi \)

Chứng minh rằng

a) sin(270^ο - α) = -cosα;

b) cos(270^ο - α) = -sinα;

c) sin(270^ο + α) = -cosα;

d) cos(270^ο + α) = sinα.

Rút gọn các biểu thức (không dùng bảng số và máy tính)

a) \({\sin ^2}\left( {{{180}^0} - \alpha } \right) + {\tan ^2}\left( {{{180}^0} - \alpha } \right){\tan ^2}\left( {{{270}^0} + \alpha } \right) + \sin \left( {{{90}^0} + \alpha } \right)\cos \left( {\alpha  - {{360}^0}} \right)\)

b) \(\frac{{\cos \left( {\alpha  - {{90}^0}} \right)}}{{\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)}} + \frac{{\tan \left( {\alpha  - {{180}^0}} \right)\cos \left( {{{180}^0} + \alpha } \right)\sin \left( {{{270}^0} + \alpha } \right)}}{{\tan \left( {{{270}^0} + \alpha } \right)}}\)

c) \(\frac{{\cos \left( { - {{288}^0}} \right)\cot {{72}^0}}}{{\tan \left( { - {{162}^0}} \right)\sin {{108}^0}}} - \tan {18^0}\)

d) \(\frac{{\sin {{20}^0}\sin {{30}^0}\sin {{40}^0}\sin {{50}^0}\sin {{60}^0}\sin {{70}^0}}}{{\cos {{10}^0}\cos {{50}^0}}}\)

Cho 0^ο < α < 90^ο

a) Có giá trị nào của α sao cho tanα < sinα hay không?

b) Chứng minh rằng sinα + cosα > 1.

Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết

a) cosα = 2sinα khi 0 < α < \(\frac{\pi }{2}\)

b) cotα = 4tanα khi \(\frac{\pi }{2}\) < α < π.

Chứng minh rằng các biểu thức sau là những số không phụ thuộc α

a) A = 2(sin⁶α + cos⁶α) - 3(sin⁴α + cos⁴α)

b) B = 4(sin⁴α + sin⁴α) - cos4α

c) C = 8(cos⁸α - sin⁸α) - cos6α - 7cos2α

Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện

    \(\cos 2A + 2\sqrt 2 \cos B + 2\sqrt 2 \cos C = 3\)

Tính các góc của tam giác ABC

Số đo của góc \(\frac{{5\pi }}{8}\) đổi ra độ là

A. 79^ο                  B. 112,5^ο

C. 125,5^ο               D. 87,5^ο

Một đường tròn có đường kính 24cm. Độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo 30^ο xấp xỉ là

A. 6,3cm             B. 6,4cm

C. 7,5cm             D. 5,8cm

Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi số đo AM = 80^ο trong đó A(1; 0). Gọi M' là điểm đối xứng với M qua đường phân giác của góc phần tư thứ II. Số đo của cung lượng giác AM' là:

A. 170^ο             B. - 200^ο

C. 190^ο             D. 280^ο

Cho \(\cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\) với \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\). Giá trị cotα là

Giá trị sin 570^ο là

A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

B. \( - \frac{1}{2}\)

C. \(\frac{1}{3}\)

D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Hỏi các đẳng thức sau có đúng với mọi số nguyên k không?

\(\begin{array}{l}
a)\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\\
b)\cos \left( {k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\\
c)\tan \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\\
d)\sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)

Tính 

a) \(\sin \alpha ,\cos 2\alpha ,\sin 2\alpha \)

\(,\cos \frac{\alpha }{2},\sin \frac{\alpha }{2}\) biết

\(\cos \alpha  = \frac{4}{5}\) và \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\)

b) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\) biết 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha  =  - \frac{9}{{11}}\\
\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}
\end{array} \right.\)

c) \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha \) biết \(\cos 2\alpha  = \frac{3}{5}\)

d) \(\cos \left( {\alpha  - \beta } \right)\) biết 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha  - \sin \beta  = \frac{1}{3}\\
\cos \alpha  - \cos \beta  = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)

e) \(\sin \frac{\pi }{{16}}\sin \frac{{3\pi }}{{16}}\sin \frac{{5\pi }}{{16}}\sin \frac{{7\pi }}{{16}}\)

Chứng minh rằng:

a) \(2\sin \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \cos 2\alpha \)

b) \(\sin \alpha \left( {1 + \cos 2\alpha } \right) = \sin 2\alpha \cos \alpha \)

c) \(\frac{{1 + \sin 2\alpha  - \cos 2\alpha }}{{1 + \sin 2\alpha  + \cos 2\alpha }} = \tan \alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)

d) \(\tan \alpha  - \frac{1}{{\tan \alpha }} =  - \frac{2}{{\tan 2\alpha }}\) (khi các biểu thức có nghĩa) 

Chứng minh rằng:

a) Nếu \(\alpha  + \beta  + \gamma  = k\pi \left( {k \in Z} \right)\) và \(\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma  \ne 0\) thì \(\tan \alpha  + \tan \beta  + \tan \gamma  = \tan \alpha \tan \beta \tan \)

b) Nếu \(0 < \alpha  < \beta  < \gamma  < \frac{\pi }{2}\) và \(\tan \alpha  = \frac{1}{8};\tan \beta  = \frac{1}{5};\tan \gamma  = \frac{1}{2}\) thì \(\alpha  + \beta  + \gamma  = \frac{\pi }{2}\)

c) \(\frac{1}{{\sin {{10}^0}}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos {{10}^0}}} = 4\)

Chứng minh rằng với mọi α, β, γ ta có:

\(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) + \cos \left( {\beta  + \gamma } \right)\sin \left( {\beta  - \gamma } \right) + \cos \left( {\gamma  + \alpha } \right)\sin \left( {\gamma  - \alpha } \right) = 0\)

Nếu \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = {1 \over 2}\) thì sin2α  bằng: 

\(\eqalign{
& (A)\,{3 \over 8}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(B)\, - {3 \over 4} \cr 
& (C)\,{1 \over {\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(D)\,{3 \over 4} \cr} \)

Với mọi \(α\), \(\sin ({{3\pi } \over 2} + \alpha )\) bằng:

(A) sinα

(B) –sinα

(C) –cos α

(D) cosα

\(\frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{{15}} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{{15}}}}\) bằng

(A) \(\sqrt 3 \)

(B) 1

(C) - 1

(D) \(\frac{1}{2}\)

\(\cos \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}}\) bằng

(A) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

(B) \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

(C) \(\frac{1}{2}\)

(D) \(-\frac{1}{4}\)

\(\sin \frac{{{{90}^0}}}{4}{\rm{cos}}\frac{{{{270}^0}}}{4}\) bằng:

(A) \(\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

(B) \(\frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1} \right)\)

(C) \(\frac{1}{2}\left( {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

(D) \(\sqrt 2  - 1\)

\(\frac{{\cos {{80}^0} - \cos {{20}^0}}}{{\sin {{40}^0}\cos {{10}^0} + \sin {{10}^0}\cos {{40}^0}}}\) bằng:

(A) 1

(B) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

(C) - 1

(D) \(-\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà góc uOv là góc nhọn thì:

(A) \(0 \le \alpha  \le \frac{\pi }{2}\)

(B) \( - \frac{\pi }{2} \le \alpha  \le \frac{\pi }{2}\)

(C) \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  \le 0\)

(D) Có số nguyên k để \( - \frac{\pi }{2} + k2\pi  < \alpha  < \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

Góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà góc uOv là góc tù thì:

(A) Có số nguyên k để \(\frac{\pi }{2} + k2\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \)

(B) \( - \pi  \le \alpha  \le \frac{{ - \pi }}{2}\)

(C) \( - \frac{\pi }{2}   \le \alpha  \le \frac{{3\pi }}{2}  \)

(D) \(\frac{\pi }{2} < \alpha  \le \pi \)

Với góc lượng giác (OA, OM) có số đo α, xét góc lượng giác (OA, ON) có 1 số đo \(\frac{\alpha }{2}\) (M và N cùng nằm trên đường trọn lượng giác gốc A). Khi đó, với mọi α sao cho M nằm trong góc phần tư thứ III của hệ tọa độ gắn với đường tròn đó (M không nằm trên trục tọa độ), điểm N luôn.

(A) nằm trong góc phần tư I

(B) nằm trong góc phần tư II

(C) nằm trong góc phần tư III

(D) không nằm trong góc phần tư I và III

Với góc lượng giác (OA, OM) có số đo ∝, xét góc lượng giác (OA, ON) có số đo 2∝ (M và N cùng nằm trên đường tròn lượng giác gốc A). Khi đó, với mọi ∝ so cho M nằm trong góc phần tư I của hệ tọa độ gắn với đường tròn đó (M không nằm trên trục tọa độ), điểm N luôn:

(A) nằm trong góc phần tư I

(B) nằm trong góc phần tư II

(C) nằm trong góc phần tư III

(D) không nằm trong góc phần tư IV