Giải bài tập Hình học 10 Chương 1 Bài 3 Tích của vectơ với một số

Cho hình bình hành ABCD. Chứng mỉnh rằng:

 \(\overrightarrow{AB}\) \(+\) \(\overrightarrow{AC}\) \(+\) \(\overrightarrow{AD}\) \(=2\overrightarrow{AC}\).

Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ \( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\), theo hai vectơ sau \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AK},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM}\).

Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho \( \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}\). Hãy phân tích vectơ  \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ  \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}\).

Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC  và D là trung điểm của đạn AM. Chứng minh rằng:

a) \(2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)

b) \(2\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OD} \), với \(O\) là điểm tùy ý.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)

Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho \(3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}\).

Cho tam giác ABC. Tìm điểm m sao cho \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF} =\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\)

Tìm giá trị của m sao cho \(\overrightarrow a  = m\overrightarrow b \) trong các trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 \);

b) \(\overrightarrow a  =  - \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \);

c) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 20,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\);

d) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 15\);

e) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 \);

g) \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b  = \overrightarrow 0 \);

h) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b  = \overrightarrow 0 \).

Chứng minh rằng:

a) Nếu \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b \) thì \(m\overrightarrow a  = m\overrightarrow b \);

b) \(m\overrightarrow a  = m\overrightarrow b \) và m ≠ 0 thì \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b \);

c) Nếu \(m\overrightarrow a  = n\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) thì m = n.

Chứng minh rằng tổng của n véc tơ \(\overrightarrow a \) bằng \(n\overrightarrow a \) (n là số nguyên dương).

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \) thì G là trọng tâm của tam giác ABC.

Cho hai tam giác ABC và A′B′C′. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow 0\) thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.

Cho hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Dựng các vec tơ:

a) \(2\overrightarrow a  + \overrightarrow b \)

b) \(\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b \)

c) \( - \overrightarrow a  + \frac{1}{2}\overrightarrow b \)

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O có cạnh a.

a) Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AD} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AF} \). 

b) Tính độ dài của vec tơ \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \) theo aa.

Cho tam giác ABC có trung tuyến \(\overrightarrow {AM} \) (M là trung điểm của BC). Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AK} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Cho tam giác ABC. Dựng \(\overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA'}  = \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC'}  = \overrightarrow {CA} \).

a) Chứng minh rằng A là trung điểm của B′C′.

b) Chứng minh các đường thẳng AA′, BB′ và CC′ đồng quy.

Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho \(CI = \frac{1}{4}CA\), J là điểm mà \(\overrightarrow {BJ}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).

a) Chứng minh \(\overrightarrow {BI}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \).

b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng.

c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài.

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta có \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MO} \).

Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = 2\overrightarrow {IJ} \).

Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm K sao cho \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow {CB} \).

b) Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \).

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.

a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Chứng minh: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD}  = 2\overrightarrow {HO} ;\\
\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 2\overrightarrow {HO} \\
\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} 
\end{array}\)

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Chứng minh \(\overrightarrow {OH}  = 3\overrightarrow {OG} \)

Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G.

Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a. Hãy dựng các vec tơ sau đây và tính độ dài của chúng

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} ;\\
\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} ;\\
3\overrightarrow {OA}  + 4\overrightarrow {OB} ;\\
\frac{{21}}{4}\overrightarrow {OA}  + 2,5\overrightarrow {OB} ;\\
\frac{{11}}{4}\overrightarrow {OA}  - \frac{3}{7}\overrightarrow {OB} .
\end{array}\)

Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh OA và OB. Hãy tìm các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\overrightarrow {OM}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \\
\overrightarrow {MN}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} 
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\overrightarrow {AN}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \\
\overrightarrow {MB}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB.} 
\end{array}
\end{array}\)

Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng:

\(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)

Cho tam giác ABC và điểm G. Chứng minh rằng

a) Nếu \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \) thì G là trọng tâm tam giác ABC;

b) Nếu có điểm O sao cho \(\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\) thì G là trọng tâm tam giác ABC.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow b  = \overrightarrow {GB} \). Hãy biểu thị mỗi vec tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {GC} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \) qua các vec tơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\)

Chứng minh rằng nếu G và G′ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A′B′C′ thì

\(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} \)

Từ đó hãy suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và A′B′C′ có trọng tâm trùng nhau.

Cho lục giác ABCDEF. Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác PRT và QSU có trọng tâm trùng nhau.

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:

a) Có một điểm G duy nhất sao cho \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\). Điểm G như thế gọi là trọng tâm của bốn điểm A, B, C, D. Tuy nhiên, người ta vẫn quen gọi G là trọng tâm của từ giác ABCD.

b) Trọng tâm G là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tam giác.

c) Trọng tâm G nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.