Bài tập 28 trang 24 SGK Hình học 10 NC

a) Gọi O là điểm cố định bất kì, ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {OC} \\
 - \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OG}  = \vec 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow 4{\mkern 1mu} \overrightarrow {OG}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} }\\
{ \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} {\mkern 1mu}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right)}
\end{array}\)

Vậy G là điểm xác định duy nhất sao cho:

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

b)

Gọi I, J lần lượt la trung điểm của AB,CD ta có

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \\
 \Rightarrow 2\overrightarrow {GI}  + 2\overrightarrow {GJ}  = \overrightarrow 0 \\
 \Rightarrow \overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {GJ}  = \overrightarrow 0 
\end{array}\)

⇒ G là trung điểm IJ

Tương tự, ta gọi H, K lần lượt là trung điểm của AC, BD ta có

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \\
 \Rightarrow 2\overrightarrow {GH}  + 2\overrightarrow {GK}  = \overrightarrow 0 \\
 \Rightarrow \overrightarrow {GH}  + \overrightarrow {GK}  = \overrightarrow 0 
\end{array}\)

⇒ G là trung điểm HK

Tương tự, ta cũng chứng minh được G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tam giác.

c)

Gọi M là trọng tâm của tam giác BCD, ta có

\(\begin{array}{l}
3\overrightarrow {GM}  = \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} \\
 \Rightarrow 3\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GA}  = \overrightarrow 0 \\
 \Rightarrow \overrightarrow {GA}  =  - 3\overrightarrow {GM} 
\end{array}\)

Do đó G, A, M thẳng hàng.

Các trường hợp còn lại làm tương tự.Vậy trọng tâm G nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại. 

-- Mod Toán 10 HỌC247