Bài tập 2.57 trang 105 SBT Hình học 10

a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{4}{3}\\
{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = 2
\end{array} \right.\)

Vậy \(g\left( {\frac{4}{3};2} \right)\)

Gọi H(x; y), ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 3} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4;0} \right)\\
\overrightarrow {CH}  = \left( {x + 1;y - 1} \right),\overrightarrow {AH}  = \left( {x - 2;y - 4} \right)
\end{array}\)

H là trực tâm tam giác ABC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AH \bot BC\\
CH \bot AB
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\
\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 4\left( {x - 2} \right) = 0\\
\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 2
\end{array} \right.\)

Gọi I(x; y), I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇔ IA = IB = IC

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\
{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 2
\end{array} \right.\)

Vậy: I(1; 2)

b) Ta có: \(\overrightarrow {IH}  = \left( {1;0} \right),\overrightarrow {IG}  = \left( {\frac{1}{3};0} \right)\)

\(\overrightarrow {IH}  = \left( {1;0} \right),\overrightarrow {IG}  = \left( {\frac{1}{3};0} \right)\) cùng phương nên H, G, I thẳng hàng.

-- Mod Toán 10 HỌC247