Bài tập 6 trang 70 SGK Hình học 10 NC

a) Góc giữa các vectơ \(\overrightarrow e\)$\stackrel{}{}$ và \(\overrightarrow f\)

b) Ta có 

\(\overrightarrow a  = \overrightarrow e  + m\overrightarrow f  = \left( {4 + m;1 + 4m} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \overrightarrow e  + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành 

\( \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow i  = 0 \Leftrightarrow 4 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 4\)

c)

\(\begin{array}{l}
\vec b = n\vec e + \vec f = \left( {4n + 1;n + 4} \right);\overrightarrow i  + \overrightarrow j  = \left( {1;1} \right)\\
\left( {\vec b;\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right) = {45^0} \Rightarrow \cos {45^0} = \frac{{\vec b.\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)}}{{\left| {\vec b} \right|.\left| {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right|}}\\
 \Rightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left( {4n + 1} \right) + \left( {n + 4} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {4n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 4} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\\
 \Rightarrow {\left( {4n + 1} \right)^2} + {\left( {n + 4} \right)^2} = {\left( {5n + 5} \right)^2}\\
 \Rightarrow 8{n^2} + 34n + 8 = 0 \Rightarrow n =  - \frac{1}{4},n =  - 4
\end{array}\)

Thử lại với n = - 4 ta có \(\overrightarrow b  = \left( { - 15;0} \right)\)

\(\cos \left( {\overrightarrow b ;\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right) = \frac{{ - 15}}{{15\sqrt 2 }} =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) (loại)

Thử lại với \(n =  - \frac{1}{4}\) ta có \(\overrightarrow b  = \left( {0;\frac{{15}}{4}} \right)\)

\(\cos \left( {\overrightarrow b ;\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) (nhận)

Vậy \(n =  - \frac{1}{4}\).

-- Mod Toán 10 HỌC247