Bài tập 4 trang 70 SGK Hình học 10 NC

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB'} } \right);\overrightarrow {AJ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC'} } \right)\\
 \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {CC'}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB'} } \right).\left( {\overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AC} } \right)\\
 = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} } \right)
\end{array}\)

Vì AB⊥AC, AB′⊥AC′

Nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC'}  = 0\)

Mặt khác

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'}  = AB.AC'.\cos BAC'}\\
{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC}  = AB'.AC.\cos B'AC}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} \\
 \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {CC'}  = 0 \Rightarrow AI \bot CC'
\end{array}
\end{array}\)

Tương tự

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {AJ} .\overrightarrow {BB'}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC'} } \right).\left( {\overrightarrow {AB'}  - \overrightarrow {AB} } \right)}\\
{ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AB'}  - \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AB} } \right) = 0}\\
{ \Rightarrow AJ \bot BB'}
\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {BC'} .\overrightarrow {B'C}  = \left( {\overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB'} } \right)}\\
{ = \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AB'}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'} }\\
{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'}  = AB.AB'.\cos BAB'}\\
\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC'}  = AC.AC'.\cos \left( {{{180}^0} - BAB'} \right)\\
 =  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'} 
\end{array}
\end{array}\)

Do đó \(\overrightarrow {BC'} .\overrightarrow {B'C'}  = 0\)

Vậy BC′⊥B′C.

-- Mod Toán 10 HỌC247