Giải bài tập Hình học 10 Ôn tập chương II Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Hãy nhắc lại định nghĩa giá trị lượng giác của một  góc \(\alpha \) với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\). Tại sao khi \(\alpha \) là một góc nhọn thì giá trị lượng giác này lại chính là các tỉ số lượng giác đã được học ở lớp 9?

Tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và cosin đối nhau?

Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\). Tích vô hướng này với |\(\vec a\) | và |\(\vec b\)| không đổi đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhẩt khi nào?

Trong mặt phẳng \({\rm{Oxy}}\) cho vecto \(\vec a = ( - 3;1)\) và vecto \(\vec b = (2;2)\) . Hãy tính tích vô hướng \(\vec a.\vec b.\)

Hãy nhắc lại định lí cosin trong tam giác. Từ các hệ thức này hãy tính \(\cos A,\cos B,\cos C\) theo các cạnh của tam giác.

Từ hệ thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\) trong tam giác, hãy suy ra định lí Py-ta-go.

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có  \(a = 2R\sin A;b = 2R\sin B;c = 2R\sin C\), trong đó \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Góc A nhọn khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\)

b) Góc A tù khi và chỉ khi \({a^2} > {b^2} + {c^2}\)

c) Góc \(A\) vuông khi và chỉ khi \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

Cho tam giác ABC có góc \(A = {60^0},BC = 6\). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Cho tam giác ABC có \(a = 12,b = 16,c = 20\). Tính diện tích \(S\)  tam giác,  chiều cao \({h_a}\), các bán kính R, r của các đường tròn ngoại tiếp, nội  tiếp tam giác và đường trung tuyến \({m_a}\) của tam giác.

Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh là a và b. Tìm tam giác có diện tích lớn nhất.

Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A. \(\sin {150^0} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\cos {150^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\tan {150^0} =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) 

D. \(\cot {150^0} = \sqrt 3 \)

Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

\(\begin{array}{l}
A.\sin \alpha  = \sin \beta \\
B.\cos \alpha  =  - \cos \beta \\
C.\tan \alpha  =  - \tan \beta \\
D.\cot \alpha  = \cot \beta 
\end{array}\)

Cho \(\alpha \) là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\sin \alpha  < 0\)

B. \(\cos \alpha  > 0\)

C. \(\tan \alpha  < 0\)

D. \(\cot \alpha  > 0\)

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A. \(\cos {45^0} = \sin {45^0}\) 

B. \(\cos {45^0} = \sin {135^0}\)

C. \(\cos {30^0} = \sin {120^0}\)

D. \(\sin {60^0} = cos{120^0}\)

Hai góc nhọn \(α\) và \(β\)  trong đó \(α < β\) . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(\cos \alpha  < \cos \beta \)

B. \(\sin α < \sin β\)

C. \(α + β  = 90^0⇒ \cos α = \sin β\)

D. \(\tan α + \tan β  > 0\)

Tam giác ABC vuông ở \(A\) và có góc \(B = {30^0}\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \({\rm{cosB}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) 

B. \(\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\cos C = \frac{1}{2}\)

D. \(\sin B = \frac{1}{2}\)

Tam giác đều ABC có đường cao AH. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\sin \widehat {BAH} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) 

B. \(\cos \widehat {BAH} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

C. \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)   

D. \(\sin \widehat {AHC} = \frac{1}{2}\)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\sin \alpha= \sin ({180^0}{\rm{ - }}\alpha )\)

B. \(\cos \alpha = \cos ({180^0}{\rm{ - }}\alpha )\)

C. \(\tan \alpha = \tan ({180^0}{\rm{ - }}\alpha )\)

D. \(\cot \alpha = \cot ({180^0}{\rm{ - }}\alpha )\)

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

A. \(\cos {35^0} > \cos {10^0}\) 

B. \(\sin {60^0} < \sin {80^0}\)

C. \(\tan {45^0} < \tan {60^0}\) 

D. \(\cos {45^0} = \sin {45^0}\)

Tam giác ABC vuông ở \(A\) và có góc \(B = {50^0}\). Hệ thức nào sau đây là sai:

A. \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ) = {130^0}\) 

B. \((\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} ) = {40^0}\)

C. \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} ) = {50^0}\)

D. \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} ) = {120^0}\)

Cho \(\vec a\) và \(\vec b\)là hai vecto cùng hướng và đều khác vecto \(\vec 0\) . Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng.

A. \(\vec a.\vec b{\rm{  = }}|\vec a|.|\vec b|\) 

B.  \(\vec a.\vec b = 0\)

C. \(\vec a.\vec b =  - 1\)

D. \(\vec a.\vec b =  - |\vec a|.|\vec b|\)

Cho tam giác ABC vuông cân tại \(A\) có \(AB = AC = 30cm\). Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại \(G\). Diện tích tam giác GFC là:

A. \(50c{m^2}\) 

B. \(50\sqrt 2 c{m^2}\)

C. \(75c{m^2}\)

D. \(15\sqrt {105} c{m^2}\)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, BC = 13cm.  Gọi góc \(\widehat {ABC} = \alpha \) và góc \(\widehat {ACB} = \beta \). Hãy chọn kết luận đúng khi so sánh α và β.

A. \(\beta  > \alpha \)

B. \(\beta  < \alpha \)

C. \(\beta  = \alpha \)

D. \(\alpha  \le \beta \)

Cho góc \(\widehat {xOy} = {30^0}\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho \(AB = 1\). Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

A. 1,5

B. \(\sqrt 3 \)

C. \(2\sqrt 2 \)

D. \(2\)

Cho tam giác ABC có \(BC = a,CA = b,AB = c\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\) thì góc \(A\) nhọn

B. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\) thì góc \(A\) tù

C. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} < 0\) thì góc \(A\) nhọn

D. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\) thì góc \(A\) vuông

Đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 15cm\). Gọi \(P\) là một điểm cách tâm \(O\) một khoảng \(PO = 9cm\). Dây cung đi qua \(P\) và vuông góc với PO có độ dài là:

A. 22cm

B. 23cm

C. 24cm

D. 25cm

Cho tam giác ABC có \(AB = 8cm,AC = 18cm\) và có diện tích bằng \(64c{m^2}\). Giá trị \(\sin A\) là:

A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) 

B. \(\frac{3}{8}\) 

C. \(\frac{4}{5}\) 

D. \(\frac{8}{9}\)

Cho hai góc nhọn \(a\) và β phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?

A.\(\sin a =  - \cos \beta \)

B. \(\cos a = \sin \beta\)

C. \(\tan a = \cot \beta\)

D. \(\cot a = \tan \beta\)

Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. \(\sin {90^0} < \sin {150^0}\) 

B. \(\sin {90^0}15' < \sin {90^0}30'\)

C. \(\cos {90^0}30' > \cos {100^0}\)

D. \(\cos {150^0} > \cos {120^0}\)

Cho tam giác ABC vuông tại \(A\). Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  < \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) 

B. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  < \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \)

C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  < \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)

D. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  < \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} \)

Tam giác ABC có \(AB = 4cm,BC = 7cm,CA = 9cm\). Giá trị của \(\cos A\) là:

A. \(\frac{2}{3}\) 

B. \(\frac{1}{3}\)

C. \(\frac{-2}{3}\)  

D. \(\frac{1}{2}\)

Cho hai điểm \(A(1;2)\) và \(B(3;4)\). Giá trị của \({\overrightarrow {AB} ^2}\) là:

A. \(4\)

B. \(4\sqrt 2 \)

C . \(6\sqrt 2 \)

D. \(8\)

Cho hai vecto \(\vec a = (4;3)\) ; và \(\vec b = (1;7)\). Góc giữa hai vecto \(\vec a\) và \(\vec b\) là:

A. \({90^0}\)

B. \({60^0}\) 

C. \({45^0}\)

D. \({30^0}\)

Cho hai điểm \(M = (1; - 2)\) và \(N = ( - 3;4)\). Khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(N\) là:

A. \(4\)  

B. \(6\)

C. \(3\sqrt 6 \)

D.  \(2\sqrt {13} \)

Tam giác ABC có \(A = ( - 1;1);B = (1;3)\) và \(C = (1; - 1)\). Trong các cách phát biểu sau đây, hãy chọn cách phát biểu đúng.

A. ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau

B. ABC là tam giác có ba góc đều nhọn

C. ABC là tam giác cân tại \(B\) (có \(BA = BC\))

D. ABC là tam giác vuông cân tại \(A\)

Tam giác ABC có \(A = (10;5),B = (3;2),C = (6; - 5)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ABC là tam giác đều

B. ABC là tam giác vuông cân tại \(B\)

C. ABC là tam giác vuông cân tại \(A\)

D. ABC là tam giác có góc tù tại \(A\)

Tam giác ABC vuông cân tại \(A\) và nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Gọi \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số \(\frac{R}{r}\) là:

A. \(1 + \sqrt 2 \)       

B. \(\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\)

C. \(\frac{{\sqrt 2  - 1}}{2}\) 

D. \(\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác ABC có AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm. Khi đó đường trung tuyến AM của tam giác có độ dài là:

A. 8cm

B. 10cm

C. 9cm

D. 7,5cm

Tam giác ABC có \(BC = a,CA = b,AB = c\) và có diện tích \(S\). Nếu tăng cạnh BC lên \(2\) lần đồng thời tăng cạnh CA lên \(3\) lần và giữ nguyên độ lớn của góc \(C\) thì khi đó diện tích tam giác mới được tạo nên bằng:

A. 2S           

B. 3S

C. 4S

D. 6S

Cho tam giác DEF có \(DE = DF = 10cm\) và \(EF = 12cm\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh EF. Đoạn thẳng DI có độ dài là:

A. 6,5 cm    

B. 7cm

C. 8cm  

D. 4cm

Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right|\). Vậy tam giác ABC là tam giác gì?

Ba điểm A, B, C phân biệt tạo nên vec tơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \) vuông góc với vec tơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA} \). Vậy tam giác ABC là tam giác gì?

Tính các cạnh còn lại của tam giác ABC trong mỗi trường hợp sau:

a) a = 7, b = 10, góc C = 56^ο29' ;

b) a = 2, c = 3, góc B = 123^ο17' ;

c) b = 0,4, c = 12, góc A = 23^ο28'.

Tam giác ABC có góc B = 60^ο, góc C = 45^ο, BC = a. Tính độ dài hai cạnh AB và AC.

Tam giác ABC có góc A = 60^ο, các cạnh b = 20, c = 35.

a) Tính chiều cao h_a;

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: b² - c² = a(b.cosC - c.cosB)

Tam giác ABC có BC = 12, CA = 13, trung tuyến AM = 8

a) Tính diện tích tam giác ABC;

b) Tính góc B.

Giải tam giác ABC biết các cạnh: a = 14, b = 18, c = 20

Giải các tam giác ABC biết: góc A = 60^ο; góc B = 40^ο; cạnh c = 14

Cho tam giác ABC có các cạnh a = 49,4; b = 26,4; góc C = 47^ο20'. Tính góc A, B và cạnh c

Cho hình bình hành ABCD có AB = 3a, AD = 5a, góc BAD bằng 120^ο

a) Tìm các tích vô hướng sau: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \)

b) Tính độ dài BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(-5; 6), B(-4; -1), C(4; 3)

a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác ABC;

b) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) ngắn nhất

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2; 4); B(3; 1); C(-1; 1).

a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;

b) Chứng minh H, G, I thẳng hàng.

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a, tâm O; E là điểm trên cạnh BC và BE = a.

a) Tính cạnh OE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OBE;

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tính tích vô hướng: \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC} \)

Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b (với b ≠ c) phân giác trong AD = k (D nằm trên cạnh BC), BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: k² = bc - de

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c thỏa mãn hệ thức \(\frac{c}{{b + a}} + \frac{b}{{a + c}} = 1\). Hãy tính số đo của góc A.

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1; 2), B(-3; 1) và trực tâm H(-2; 3). Hãy tìm tọa độ đỉnh C.

Cho tam giác ABC góc BAC = 60ο, AB = 4 và AC = 6.

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) , độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;

b) Lấy các điểm M, N định bởi:

\(2\overrightarrow {AM}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NB}  + x\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \left( {x \ne  - 1} \right)\)

Định x để AN vuông góc với BM.

Cho tam giác ABC có a = 12, b = 16, c = 20.

a) Tính diện tích S và chiều cao h_a của tam giác;

b) Tính độ dài đường trung tuyến m_a của tam giác;

c) Tính bán kính R và r của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.

Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đẳng AB trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc BPA = 35^ο và BQA = 48^ο

a) Tính BQ;

b) Tính chiều cao của tháp.

Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5).

a) Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 3) và B(4; 2).

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB;

b) Tính chu vi tam giác OAB;

c) Tính diện tích tam giác OAB.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; -1)

a) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua gốc tọa độ O;

b) Tìm tọa độ điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C.

Cho góc x thỏa mãn điều kiện 0^ο < x < 90^ο. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. sin x > 0                  B. cos x < 0

C. tan x > 0                  D. cot x > 0

Cho góc x thỏa mãn điều kiện 90^ο < x < 180^ο. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. cos x < 0                  B. sin x < 0

C. tan x > 0                   D. cot x > 0

_{Giá trị của biểu thức m.sin0ο + n.cos0ο + p.sin90ο}

_{A. n - p                  B. m + p}

_{C. m - p                  D. n + p}

Rút gọn biểu thức S = a²sin90^ο + b²cos90^ο + c²cos180^ο, ta có S bằng:

A. a² + b2                  B. a² - b²

C. a² - c²                  D. b² + c²

Giá trị của biểu thức S = 3 - sin²90^ο + 2cos²60^ο - 3tan²45^ο bằng:

A. 0,5                  B. - 0,5

C. 1                     D. 3

Cho biểu thức P = 3sin²x + 4cos²x, biết cosx = 0,5 , giá trị của P bằng bao nhiêu?

A. P = \(\frac{7}{4}\)                  B. P = \(\frac{1}{4}\)

C. P = 7                  D. P = \(\frac{{13}}{4}\)

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. (sinx + cosx)² = 1 + 2sinxcosx

B. (sinx - cosx)² = 1 - 2sinxcosx

C. sin⁴x + cos⁴x = 1 - 2.sin²x.cos²x

D. sin⁶x + cos⁶x = 1 - sin²x.cos²x

Giá trị của biểu thức S = cos²12^ο + cos²78^ο + cos²1^ο + cos²89^ο bằng:

A. S = 0                   B. S = 1

C. S = 2                   D. S = 4

Gọi G là trong tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}{a^2}\)

B. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = \frac{{ - 1}}{2}{a^2}\)

C. \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB}  = \frac{{{a^2}}}{6}\)

D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG}  = \frac{1}{2}{a^2}\)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng bao nhiêu?

A. a²                           B. \(\frac{{{a^2}}}{2}\)

C. 2a²                          D. \({a^2}\sqrt 2 \)

Cho hai vectơ a, b (khác vectơ 0) thỏa mãn: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

A. \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \)

B. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b\) cùng hướng

C. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b\) ngược hướng

D.  \(\overrightarrow a  =  - \overrightarrow b \)

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) bằng:

A. a²                  B. - a²

C. \(\frac{{{a^2}}}{2}\)              D. \({a^2}\sqrt 3 \)

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; 1), B(2; 4), C(10; -2). Giá trị cosC bằng:

A. \(\frac{1}{{\sqrt {10} }}\)

B. \(\frac{{ - 1}}{{\sqrt {10} }}\)

C. \(\frac{3}{{\sqrt {10} }}\)

D. \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt {10} }}\)

Tam giác ABC có AB = 2cm, AC = 1 cm, góc A = 60ο. Độ dài cạnh là BC là:

A. 1 cm          B. 2 cm          C. \(\sqrt 3 \) cm          D. \(\sqrt 5 \) cm

Tam giác ABC có các cạnh a = 5cm, b = 3cm, c = 5cm. Số đo của góc BAC là:

A. A = 45^ο                  B. A = 30^ο

C. A > 60^ο                  D. A = 90^ο

Tam giác ABC có AB = 8cm, BC = 10cm, CA = 6cm. Đường trung tuyến AM của tam giác có độ dài bằng:

A. 4cm          B. 5cm          C. 6cm          D. 7cm

Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, BC = 10cm. Đường tròn nội tiếp tam giác đó có bán kính r bằng:

A. 1cm          B. \(\sqrt 2 \) (cm)         C. 2cm          D. 3cm

Tam giác ABC có các cạnh a = \(\sqrt 3 \) cm, b = \(\sqrt 2 \) cm, c = 1cm. Đường trung tuyến m_a có độ dài là:

A. 1cm          B. 1,5cm          C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)cm          D. 2,5cm

Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 4cm có diện tích là:

A. 13 cm²                  B. \(13\sqrt 3 \) cm²

C. \(12\sqrt 3 \) cm²             D. 15 cm²

Tam giác ABC vuông và cân tại A có AB = a. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính r bằng:

A. \(\frac{a}{2}\)

B. \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

C. \(\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}\)

D. \(\frac{a}{3}\)

Tam giác ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + b + c)(a + b - c) = 3ab. Khi đó số đo của góc C là:

A. 120^ο                  B. 30^ο

C. 45^ο                    D. 60^ο

Hình bình hành ABCD có AB = a, BC = \(a\sqrt 2 \) và góc BAD = 45^ο. Diện tích hình bình hành bằng:

A. 2a²          B. \({a^2}\sqrt 2 \)         C. a²          D. \({a^2}\sqrt 3 \)

Tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a. Đường trung tuyến BM có độ dài là:

A. 1,5a          B. \(a\sqrt 2 \)          C. \(a\sqrt 2 \)          D. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Bán kính R bằng:

A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a bằng:

A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

D. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{7}\)

Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, cạnh CA = b. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng:

A. 60^ο

B. 90^ο 

C. 150^ο 

D. 120^ο

Cho tam giác ABC có diện tích S. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh BC và AC lên hai lần đồng thời giữ nguyên độ lớn của góc C thì diện tích của tam giác mới được tạo nên là:

A. 2S          B. 3S          C. 4S          D. 5S

Cho góc xOy = 30^ο. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 2. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

A. 2          B. 3          C. 4          D. 5

Cho hai điểm A(0; 1) và B(3; 0). Khoảng cách giữa hai điểm A và B là:

A. 3                  B. 4

C. \(\sqrt 5 \)                 D. \(\sqrt {10} \)

Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(-1; 1), B(2; 4), C(6; 0). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Tam giác ABC có ba góc nhọn.

B. Tam giác ABC có một góc vuông.

C. Tam giác ABC có một góc tù.

D. Tam giác ABC đều.

Chứng minh các công thức sau:

a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)\)

b) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta luôn có

MA²+MB²+MC² = 3MG²+GA²+GB²+GC².

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA²+MB²+MC² = k², trong đó k là một số cho trước.

Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp các điểm MM sao cho MA²+MB²+MC²+MD² = k², trong đó k là một số cho trước.

Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB' và CC'. Chứng minh rằng

a) AI⊥CC′, AJ⊥BB′;

b) BC′⊥B′C.

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là trung điểm của CD, M là điểm trên AC sao cho AM = \(\frac{1}{4}\)AC.

a)Tính các cạnh của tam giác BMN.

b) Có nhận xét gì về tam giác BMN ? Tính diện tích tam giác đó.

c) Gọi I là giao điểm của  BN và AC. Tính CI.

d) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow e  = \left( {4;1} \right)\) và \(\overrightarrow f  = \left( {1;4} \right)\)

a) Tìm góc giữa các vectơ \(\overrightarrow e\)$\stackrel{}{}$ và \(\overrightarrow f\).

b) Tìm m để vec tơ \(\overrightarrow a  = \overrightarrow e  + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành.

c) Tìm n để vec tơ \(\overrightarrow b  = n\overrightarrow e  + \overrightarrow f \) tạo với vec tơ \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j \) một góc 45⁰.