Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Lý thuyết10 Trắc nghiệm43 BT SGK 226 FAQ

Ở bài 1, các em đã được tìm hiều về khái niệm đạo hàm và phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa. Khuyết điểm của phương pháp này là rất khó áp dụng với các hàm số phức tạp, và phải trải qua nhiều công đoạn tính toán. Bài 2 Quy tắc tính đạo hàm sẽ giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp và hàm hợp của chúng, các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm.

QUẢNG CÁO

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

1.2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1.3. Đạo hàm với hàm hợp

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập bài 2 chương 5 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm về Quy tắc tính đạo hàm

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về Quy tắc tính đạo hàm

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 5 giải tích 11

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

- Định lý 1: Hàm số \(y = {x^n}(n \in \mathbb{N},n > 1\)) có đạo hàm với mọi \(x \in\mathbb{R}\) và: \({\left( {{x^n}} \right)'} = n{x^{n - 1}}.\)

- Nhận xét:

+ (c)'=0 (với c là hằng số).

+ (x)'=1.

- Định lý 2: Hàm số \(y= \sqrt x\) có đạo hàm với mọi x dương và: \(\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)

1.2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

- Định lý 3: Giả sử \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

+ \({\left( {u + v} \right)'} = {u'} + {v'}\)

+ \({\left( {u - v} \right)'} = {u'} - {v'}\)

+ \({\left( {u.v} \right)'} = {u'}.v + u.{v'}\)

+ \(\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2},(v(x) \ne 0)\)

- Mở rộng:

+ \(({u_1} + {u_2} + ... + {u_n})' = {u_1}' + {u_2}' + ... + {u_n}'.\)

- Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: \((ku)'=ku'.\)

- Hệ quả 2: \({\left( {\frac{1}{v}} \right)'} = - \frac{{ - v'}}{{{v^2}}}\) , \((v(x)\ne 0)\)

+ \((u.v.{\rm{w}})' = u'.v.{\rm{w}} + u.v'.{\rm{w}} + u.v.{\rm{w}}'\)

1.3. Đạo hàm với hàm hợp

- Định lý: Cho hàm số \(y=f(u)\) với \(u=u(x)\) thì ta có: \(y'_u=y'_u.u'_x.\)

- Hệ quả:

+ \(({u^n}) = n.{u^{n - 1}}.u',n \in \mathbb{N}^*.\)

+ \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}.\)

ADMICRO

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

a) Cho hàm số f(x)=x⁶. Tính f'(x) và f'(1).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt x\) tại x=9.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(f'(x) = 6{x^5},\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy: \(f'(1) = 6.\)

b) Ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Tại x=9 ta có: \(f'(9) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}.\)

Ví dụ 2:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x.\)

b) \(y=(x^2+1)(3-2x^2).\)

c) \(y=(x^2+3)^5.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = \left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x} \right)' = {x^2} - 4x + 3.\)

b) \(y' = \left[ {({x^2} + 1)(3 - 2{x^2})} \right]' = ({x^2} + 1)'(3 - 2{x^2}) + ({x^2} + 1)(3 - 2{x^2})'\)

\(= 2x(3 - 2{x^2}) - 4x({x^2} + 1) = - 8{x^3} + 2x.\)

c) \(y' = \left[ {{{({x^2} + 3)}^5}} \right]' = 5{({x^2} + 3)^4}({x^2} + 3)' = 10x{({x^2} + 3)^4}.\)

Ví dụ 3:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{x}.\)

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\)

c) \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} - 2}}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{x}} \right)' = \left( {\frac{1}{4}x} \right)' + \left( {\frac{1}{x}} \right)' = \frac{1}{4} - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{4{x^2}}}.\)

b) \(y' = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)' = \frac{{(2x + 1)'(x + 1) - (2x + 1)(x + 1)'}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)

c) \(y' = \left( {\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} - 2}}} \right)' = \frac{{( - {x^2} + 2x + 3)'({x^3} - 2) - ( - {x^2} + 2x + 3)({x^3} - 2)'}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}}\)

\(= \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)({x^3} - 2) - 3{x^2}( - {x^2} + 2x + 3)}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}} = \frac{{{x^4} - 4{x^3} - 9{x^2} + 4x - 4}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}}.\)

Ví dụ 4:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{2}{x} + 5\sqrt x .\)

b) \(y = (x - 2)\sqrt {{x^2} + 1}\)

c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\) với a là hằng số.

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = \left( {\frac{2}{x} + 5\sqrt x } \right)' = \left( {\frac{2}{x}} \right)' + \left( {5\sqrt x } \right)' = - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{5}{{2\sqrt x }} = \frac{{5x\sqrt x - 4}}{{2{x^2}}}.\)

b) \(y = \left[ {(x - 2)\sqrt {{x^2} + 1} } \right]' = (x - 2)'\sqrt {{x^2} + 1} + (x - 2)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'\)

\(= \sqrt {{x^2} + 1} + \left( {x - 2} \right)\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{x(x - 2)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} - 2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

c) \(y' = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)' = \frac{{\left( x \right)'\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x.\frac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{{a^2}}}{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}.\)

ADMICRO

3. Luyện tập Bài 2 chương 5 giải tích 11

Bài 2 Quy tắc tính đạo hàm sẽ giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp và hàm hợp của chúng, các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm.

3.1 Trắc nghiệm về Quy tắc tính đạo hàm

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{7}{{{x^3}}} + \frac{6}{{{x^5}}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?
- A. \(\frac{3}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^4}}} - \frac{7}{{{x^6}}} + \frac{6}{{{x^{10}}}}\)
- B. \( - \frac{3}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^4}}} + \frac{7}{{{x^6}}} - \frac{6}{{{x^{10}}}}\)
- C. \( - \frac{3}{{{x^2}}} - \frac{4}{{{x^3}}} + \frac{{21}}{{{x^4}}} - \frac{{30}}{{{x^6}}}\)
- D. \(3 + \frac{1}{x} - \frac{7}{{3{x^2}}} + \frac{6}{{5{x^4}}}\)
Câu 2:
Đạo hàm của hàm số \(y = \left( {5 - 3x} \right)\left( {\frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - 4} \right)\) bằng biểu thức nào dưới đây?
- A. -3+x²+x
- B. -3(x²+x)
- C. -3-x²-x
- D. \( - 4{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + 5x + 12\)
Câu 3:
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{5 - 2x - 3{x^2}}}{{3x - 2}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?
- A. \(\frac{{ - 2 - 6x}}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\)
- B. \(\frac{{ - 2 - 6x}}{3}\)
- C. \(\frac{{ - 9{x^2} + 12x - 11}}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\)
- D. \(\frac{{ - 5 - 6x}}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Quy tắc tính đạo hàm

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 162 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 162 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 163 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 4 trang 163 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5 trang 163 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5.12 trang 202 SBT Toán 11

Bài tập 5.13 trang 202 SBT Toán 11

Bài tập 5.14 trang 202 SBT Toán 11

Bài tập 5.15 trang 202 SBT Toán 11

Bài tập 5.16 trang 202 SBT Toán 11

Bài tập 5.17 trang 202 SBT Toán 11

Bài tập 5.18 trang 202 SBT Toán 11