RANDOM
AMBIENT
Video-Banner
ADSENSE

Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác


Ở bài 2, các em đã được học quy tắc tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp. Bài 3 Đạo hàm của hàm số lượng giác sẽ tiếp tục giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm của các hàm số lượng giác.

ANYMIND

 

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Hàm số \(y=sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x.\)

Nếu \(y=sin u\) và \(u=u(x)\) thì \((sin u)'=u'. \cos u.\)

1.2. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Hàm số \(y=\cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cos x} \right)' =-\sin x.\)

Nếu \(y=\cos u\) và \(u=u(x)\) thì \((cos u)'=-u'. \sin u.\)

1.3. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Hàm số \(y=\tan x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)

Nếu \(y=tan u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\tan u} \right)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}.\)

1.4. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Hàm số \(y=\cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)

Nếu \(y=\cot u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\cot x} \right)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\).

 
 

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: 

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right).\)

b) \(y = \sin \sqrt {x + 10} .\)

c) \(y = \sin \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right).\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)\(\Rightarrow y' = \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)'.\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)\(= - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right).\)

b) \(y = \sin \sqrt {x + 10}\)\(\Rightarrow y' = \left( {\sqrt {x + 10} } \right)'.\cos \sqrt {x + 10}\)\(= \frac{1}{{2\sqrt {x + 10} }}.\cos \sqrt {x + 10} .\)

c) \(y = \sin \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)\)\(\Rightarrow y' = \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)'.\cos \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)\)\(= \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.\cos \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right).\)

Ví dụ 2:

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \cos \left( {{x^3} - x} \right).\)

b) \(y = \cos \sqrt {{x^2} - 8} .\)

c) \(y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \cos \left( {{x^3} - x} \right)\)\(\Rightarrow y' = - \left( {{x^3} - x} \right)'.\sin \left( {{x^3} - x} \right)\)\(= - \left( {3{x^3} - 1} \right).\sin \left( {{x^3} - x} \right).\)

b) \(y = \cos \sqrt {{x^2} - 8}\)\(\Rightarrow y' = - \left( {\sqrt {{x^2} - 8} } \right)'.\sin \sqrt {x + 10}\)\(= \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 8} }}.\sin \sqrt {{x^2} - 8} .\)

c) \(y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)\)\(\Rightarrow y' = \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)'.\sin \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)\)\(= \frac{4}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\sin \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).\)

Ví dụ 3: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau: 

a) \(y = \tan \left( {{x^5} - 5x} \right)\).

b) \(y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}\).

Hướng dẫn giải: 

a) \(y = \tan \left( {{x^5} - 5x} \right)\) \(\Rightarrow y' = \frac{{({x^5} - 5x)'}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} - 5x} \right)}} = \frac{{5{x^4} - 5}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} - 5x} \right)}}\).

b) \(y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}\)\(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}} = \frac{{2{x^3}}}{{\sqrt {{x^4} + 1} .{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}\).

Ví dụ 4: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \cot \left( {7{x^3} - 6x} \right)\).

b) \(y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right)\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \cot \left( {7{x^3} - 6x} \right)\) \(\Rightarrow y' = \frac{{(7{x^3} - 6x)'}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} - 6x} \right)}} = - \frac{{21{x^2} - 6}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} - 6x} \right)}}\).

b) \(y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right)\)\(\Rightarrow y' = 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left[ {\cot \left( {5x + 1} \right)} \right]'\)

\(= 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left( {\frac{{ - 5}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}} \right)\)\(= \frac{{ - 20{{\cot }^3}\left( {5x + 1} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}\).

3. Luyện tập Bài 3 chương 5 giải tích 11

Bài 3 Đạo hàm của hàm số lượng giác sẽ tiếp tục giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm của các hàm số lượng giác.

3.1 Trắc nghiệm về Đạo hàm của hàm số lượng giác

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 4- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 5.80 trang 211 SBT Toán 11

Bài tập 5.81 trang 211 SBT Toán 11

Bài tập 28 trang 211 SGK Toán 11 NC

Bài tập 29 trang 211 SGK Toán 11 NC

Bài tập 30 trang 211 SGK Toán 11 NC

Bài tập 31 trang 212 SGK Toán 11 NC

Bài tập 32 trang 212 SGK Toán 11 NC

Bài tập 33 trang 212 SGK Toán 11 NC

Bài tập 34 trang 212 SGK Toán 11 NC

Bài tập 35 trang 212 SGK Toán 11 NC

Bài tập 36 trang 212 SGK Toán 11 NC

Bài tập 37 trang 212 SGK Toán 11 NC

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 5 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 11 HỌC247

YOMEDIA