Bài tập 2 trang 168 SGK Đại số & Giải tích 11

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính đạo hàm: \(\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2},(v(x) \ne 0)\)​.

Giải các bất phương trình thu được.

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c bài 2 như sau:

Câu a:

Ta có \(y = \frac{x^{2}+x+2}{x-1}\)

 \(y' = \frac{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)'.\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 2} \right).\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Do đó, y'<0 ⇔ \(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)<0 ⇔ x≠1 và x² -2x -3 <0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 1 < x < 3\\
x \ne 1
\end{array} \right.\)

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x\in (-1;1)\cup (1;3)\)

Câu b:

Ta có \(y =\frac{x^{2}+3}{x+1}\)

\(y' = \frac{{\left( {{x^2} + 3} \right)'.\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right).\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Do đó, y'≥0 ⇔ \(\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) ≥0

⇔ x≠ -1 và x² +2x -3 ≥ 0

⇔ x≠ -1 và x ≥ 1 hoặc x ≤ -3

⇔ x ≥ 1 hoặc x ≤ -3

⇔ \(x\in (-\infty ;-3]\cup [1;+\infty )\).

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(x\in (-\infty ;-3]\cup [1;+\infty )\)

Câu c:

Ta có \(y =\frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\)

\(y'=\frac{(2x-1)'.(x^{2}+x+4)-(2x-1).(x^{2}+x+4)'}{(x^{2}+x+4)^2}\)

\(=\frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)}\)

Do đó, y'>0

⇔ \(\frac{{ - 2{x^2} + 2x + 9}}{{\left( {{x^2} + x + 4} \right)}} > 0\) ⇔ -2x² +2x +9>0 ⇔  2x² -2x -9 <0

⇔ \(\frac{{1 - \sqrt {19} }}{2} < x < \frac{{1 + \sqrt {19} }}{2}\)

⇔ \(x\in \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right )\) 

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x\in \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right )\).

-- Mod Toán 11 HỌC247