Bài tập 6 trang 169 SGK Đại số & Giải tích 11

Yêu cầu bài toán tương đương với chứng minh các hàm số có đạo hàm là các hằng số.

Áp dụng các qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác ta có lời giải chi tiết câu a, b bài 6 như sau.

Câu a:

\(y=sin^6x+cos^6x+3sin^2xcos^2x\)

\(y'=6cosxsin^5x-6sinxcos^5x+3(2sinxcosxcos^2x-2sin^2xcosxsinx)\)

\(=6cosxsin^5x-6sinxcox^5x+6sinxcos^3x-6cosxsin^3x\)

\(=3sin^4xsin2x-3cos^4xsin2x+3sin2xcos^2x-3sin2xsin^2x\)

\(=3sin2x(sin^4x-cos^4x)+3sin2x(cos^2x-sin^2x)\)

\(=3sin2x(sin^2x-cos^2x)(sin^2x+cos^2x)-3sin2x(sin^2x-cos^2x)\)

\(=3sin2x(sin^2x-cos^2x)-3sin2x(sin^2x-cos^2x)=0\)

Vậy y'=0 với mọi x hay y' không phụ thuộc x

Câu b:

\(y=cos^2\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )=cos\left ( \pi -\frac{\pi }{3}-x \right )= -cos\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\)

Ta có: \(cos\left (\frac{2\pi }{3}-x \right )= cos\left ( \pi -\frac{\pi }{3}-x \right )=-cos\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\)

\(cos\left (\frac{2\pi }{3}+x \right )= cos\left ( \pi -\frac{\pi }{3}+x \right )=-cos\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\)

hay \(cos^2\left ( \frac{2\pi }{3} -x\right )=cos^2\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\)

\(cos^2\left ( \frac{2\pi }{3} +x\right )=cos^2\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\)

Do đó \(y=2cos^2\left ( \frac{\pi }{3} -x \right )+2cos^2\left ( \frac{\pi }{3} +x\right )-2sin^2x\)

Suy ra:

\(y'=4sin\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )cos\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )- 4sin\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )cos\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )-4cosxsinx\)

\(=2sin\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )-2sin\left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2sin2x\)

\(=2\left [ sin \frac{2\pi }{3}cos2x-sin2xcos\frac{2\pi }{3} -sin\frac{2\pi }{3}cos2x-sin2xcos\frac{2\pi }{3}-sin2x\right ]\)

\(=2\left [ -sin2xcos\frac{2\pi }{3} -sin2xcos\frac{2\pi }{3}-sin2x\right ]\)

\(=2\left [ \frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{2}sin2x-sin2x\right ]=0\)

Vậy y'=0, với mọi x hay y' không phụ thuộc vào x.

-- Mod Toán 11 HỌC247