Giải bài tập SGK Chương Toán 10 Cơ bản & Nâng cao

Sử dụng bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau

a) x là số dương.

b) y là số không âm.

c) Với mọi số thực α, |α| là số không âm.

d) Trung bình cộng của hai số dương a và b không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng.

Có thể rút ra kết luận gì về dấu của hai số a và b nếu biết

a) ab > 0     

b) \(\frac{a}{b} > 0\)

c) ab < 0   

d) \(\frac{a}{b} < 0\) 

Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng?

(A) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 1}\\
{y < 1}
\end{array}} \right. \Rightarrow xy < 1\)

(B) \(\left\{ \begin{array}{l}
x < 1\\
y < 1
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{x}{y} < 1\)

(C) \(\left\{ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
y < 1
\end{array} \right. \Rightarrow xy < 1\)

(D) \(\left\{ \begin{array}{l}
x < 1\\
y < 1
\end{array} \right.x - y < 1\)

Khi cân một vật với độ chính xác đến 0,05kg, người ta cho biết kết quả là 26,4kg. Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào?

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) = x + 1 và y = g(x) = 3 - x và chỉ ra các giá trị nào của x thỏa mãn:

a) f(x) = g(x);

b) f(x) > g(x);

c) f(x) < g(x).

Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trình, bất phương trình.

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng

\(\frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} \ge 6\)

Điều kiện của một bất phương trình là gì? Thế nào là hai bất phương trình tương đương.

Nếu quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c.

Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng \(\frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \)

a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức a² - b² = (a - b)(a + b) hãy xét dấu f(x) = x⁴ - x² + 6x - 9 và \(g(x) = {x^2} - 2x - \frac{4}{{{x^2} - 2x}}\)

b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau:

x(x³ - x + 6) > 9

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai, chứng mình rằng:

b²x² - (b² + c² - a²)x + c² > 0 ∀x

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

\(\left\{ \begin{array}{l}
3x + y \ge 9\\
x \ge y - 3\\
2y \ge 8 - x\\
y \le 6
\end{array} \right.\)

Số -2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình

(A) 2x + 1 > 1 - x;                            (B) (2x + 1)(1 - x) < x²

(C) \(\frac{1}{{1 - x}} + 2 \le 0\);      (D) (2 - x)(x + 2)² < 0

Bất phương trình \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x  \le 0\) tương đương với bất phương trình

(A) \(\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \)

(B) (x + 1)\(\sqrt x \) < 0

(C) (x + 1)²\(\sqrt x \) ≤ 0                                     

(D) (x + 1)²\(\sqrt x \) < 0

Bất phương trình mx² + (2m – 1)x + m + 1 < 0 có nghiệm khi

(A) m = 1 ;     (B) m = 3

(C) m = 0 ;     (D) m = 0,25

Hệ bất phương trình sau vô nghiệm

(A) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x \le 0\\
2x + 1 < 3x + 2
\end{array} \right.\)

(B) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4 > 0\\
\frac{1}{{x + 2}} < \frac{1}{{x + 1}}
\end{array} \right.\)

(C) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 5x + 2 < 0\\
{x^2} + 8x + 1 \le 0
\end{array} \right.\)

(D) \(\left\{ \begin{array}{l}
\left| {x - 1} \right| \le 2\\
\left| {2x + 1} \right| \le 3
\end{array} \right.\)

Chứng minh rằng:

\({\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} \ge 4xy{\left( {x - y} \right)^2},\forall x,y\)

Chứng minh rằng:

\({x^2} + 2{y^2} + 2xy + y + 1 > 0,\forall x,y\)

Chứng minh rằng:

    (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc, với a, b, c là những số dương tùy ý.

Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện \({a^3} > 36\) và \(abc = 1\)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - {\rm{a}}x - 3ac + \dfrac{{{a^2}}}{3}\).

a. Chứng minh rằng \(f(x) > 0,\forall x\)

b. Từ câu a) suy ra \(\dfrac{{{a^2}}}{3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca.\)

Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m:

\(\left( {m - 1} \right)\sqrt x  \le 0\)

Tìm a và b để bất phương trình: (x - 2a + b - 1)(x + a - 2b + 1) ≤ 0 có tập nghiệm là đoạn [0; 2]

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. \(x < y \Leftrightarrow {x^3} < {y^3}\)

B. \({x^2} < {y^2} \Leftrightarrow x < y\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
y > 2
\end{array} \right. \Rightarrow xy > 2\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
y > 2
\end{array} \right. \Rightarrow x + y = 3\)

Khối lượng nước thất thoát do vỡ đường ống dẫn nước sạch Sông Đà được ước tính là 215300 m³/ngày đêm. Cho biết số liệu trên chính xác đến 50m³. Gọi T (m³) là khối lượng thực của số nước thất thoát trong một ngày đêm. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. 215250 < T < 215350

B. 215200 < T < 215400

C. 215255 < T < 215355

D. 214000 < T < 216000

Trong các hệ bất phương trình sau, hệ nào vô nghiệm?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 2x - 1 \le 0\\
2x + 1 < 3x + 2
\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^4} + x - 1 > 0\\
\frac{1}{{x + 5}} < \frac{1}{{ - 1 + x}}
\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 5x + 2 < 0\\
{x^2} + 8x + 1 \le 0
\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}
\left| {x - 1} \right| \le 2\\
\left| {2x + 1} \right| \le 3
\end{array} \right.\)

Chứng minh các bất đẳng thức

a) |a+b| < |1+ab| với |a| < 1; |b| < 1

b) \(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} \ge \frac{1}{2}\) với mọi n ∈ N*

c) \(\frac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \frac{a}{{1 + a}} + \frac{b}{{1 + b}}\) với mọi a ≥ 0; b ≥ 0. Khi nào có đẳng thức?

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) với a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0

b) a²b² + b²c² + c²a² ≥ abc(a + b +c) với mọi a,b,c ∈ R

Khi nào có đẳng thức?

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) \(f(x) = |x + {1 \over x}|\)

b) \(g(x) = {{{x^2} + 2} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm.

\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{7}{6}x - \frac{1}{2} > \frac{{3x}}{2} - \frac{{13}}{3}\\
{m^2}x + 1 \ge {m^4} - x
\end{array} \right.\)

Với giá trị nào của m, bất phương trình:

(m² + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 nghiệm đúng ∀x ∈ [-1; 2] ?

Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) a²x + 1 > (3a - 2)x - 3

b) 2x² + (m - 9)x + m² + 3m + 4 ≥ 0

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 9x + 20}} > 0\)

b) \(\frac{{2{x^2} - 10x + 14}}{{{x^2} - 3x + 2}} \ge 1\)

Tìm các giá trị của m sao cho R là tập nghiệm của mỗi bất phương trình:

a) (m - 4)x² - (m - 6)x + m – 5 ≤ 0

b) (m2 - 1)x² + 2(m + 1)x + 3 > 0

Giải các phương trình sau

a) |x² – 2x – 3| = 2x+2

b) \(\sqrt {{x^2} - 4}  = 2\left( {x - \sqrt 3 } \right)\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\sqrt {{x^2} - 4x - 12}  \le  - 4\)

b) \(\left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} - 4\)

c) \(\sqrt {{x^2} - 8x}  \ge 2\left( {x + 1} \right)\)

d) \(\sqrt {x\left( {x + 3} \right)}  \le 6 - {x^2} - 3x\)

Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 5x + 6 < 0\\
ax + 4 < 0
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
4x + 1 < 7x - 2\\
{x^2} - 2ax + 1 \le 0
\end{array} \right.\)

Trong mỗi câu sau đây, có bốn khẳng định (A), (B), (C) và (D) , trong đó chỉ có một khẳng định đúng. Hãy chọn khẳng định đúng trong mỗi câu đó.

a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 8 - 5\sqrt 3 \)

A. Dương với mọi x ∈ R

B. Âm với mọi x ∈ R

C. Âm với mọi \(x \in \left( { - 2 - \sqrt 3 ;1 + 2\sqrt 3 } \right)\)       

D. Âm với mọi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\)

b) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = \left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 - 4\sqrt 2 } \right)x - 3\sqrt 2  + 6\)

A. Dương với mọi x ∈ R

B. Dương với mọi \(x \in \left( { - 3;\sqrt 2 } \right)\)

C. Dương với mọi \(x \in \left( { - 4;\sqrt 2 } \right)\)     

D. Âm với mọi x ∈ R

c) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2} + \left( {15 - 7\sqrt 5 } \right)x + 25 - 10\sqrt 5 } \)

(A). R

(B). \(\left( { - \infty ;1} \right)\)

(C). [−5;1]

(D). \(\left[ { - 5;\sqrt 5 } \right]\)

a) Tập nghiệm của bất phương trình: \(\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right){x^2} - 2\left( {3\sqrt 2  - 4} \right)x + 6\left( {2\sqrt 2  - 3} \right) \le 0\) là: 

(A). \(\left[ { - 2;3\sqrt 2 } \right]\)

(B). \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

(C). \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\)

(D). \(\left[ { - 1;3\sqrt 2 } \right]\)

b) Tập nghiệm của bất phương trình: \(\left( {2 + \sqrt 7 } \right){x^2} + 3x - 14 - 4\sqrt 7  \ge 0\) là: 

(A). R

(B). \(\left( { - \infty ; - \sqrt 7 } \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

(C). \(\left[ { - 2\sqrt 2 ;5} \right]\)

(D). \(\left( { - \infty ; - \sqrt 7 } \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

c) Tập nghiệm của bất phương trình: \(\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^2} + \left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)x + 2 + \sqrt 2 }} \le 0\)

(A). \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\)

(B). \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ;1} \right]\)

(C). \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left\{ 1 \right\}\)

(D). \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

a) Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 10x - 5}  = 2\left( {x - 1} \right)\) là: 

(A). \(x = \frac{3}{4}\)

(B). \(x = 3 - \sqrt 6 \)

(C). \(x = 3 + \sqrt 6 \)

(D). \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 3 + \sqrt 6 \\
{x_2} = 2
\end{array} \right.\)

b) Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {\left( {x + 4} \right)\left( {6 - x} \right)}  \le 2\left( {x + 1} \right)\) là:

(A). \(\left[ { - 2;5} \right]\)

(B). \(\left[ {\frac{{\sqrt {109}  - 3}}{5};6} \right]\)

(C). [1,6]

(D). [0,7]

c) Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {2\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right)}  > x - 3\) là:

(A). [−100,2]

(B). \(\left( { - \infty ;1} \right]\)

(C). \(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)

(D). \(\left( { - \infty ;2} \right] \cup \left( {4 + \sqrt 5 ; + \infty } \right)\)