Bài tập 4.80 trang 125 SBT Toán 10

So sánh \(\sqrt{2014} +\sqrt{2012} \) và \( 2\sqrt{2013} \)

Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a+b}{c}\ge\dfrac{15}{2}\)

Cho a;b;c không âm . Chứng minh :

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{3}{a+b+c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab+bc+ca}}\)

Chứng minh rằng nếu \(a\ge1;b\ge1\) thì \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)

Tìm GTNN:

A= x ( x+1 )

B= \(9x^2\) - 3x - 1

C= \(x^2\) - 5x + 3

D= ^{\(x^2-2xy+2y^2+y-3\)}

1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=3. Cmr \(\dfrac{a^2}{a+2b^2}+\dfrac{b^2}{b+2c^2}+\dfrac{c^2}{c+2a^2}\ge1\)

2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\). Cmr: \(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\ge\dfrac{3}{4}\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2\)

3.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa \(a^2+b^2+c^2=3\). Cmr:\(\sqrt{\dfrac{a^2}{b+b^2+c}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{c+c^2+a}}+\sqrt{\dfrac{c^2}{a+a^2+b}}\le3\)

cho a,b,c là số thực dương. Cmr:

1.\(\dfrac{a}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ca}\)

2.\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\dfrac{9}{4}\)

Cho a,b,c>0 thỏa abc=1. Chứng minh :

\(\dfrac{a}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{b}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)^2}-\dfrac{4}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\le\dfrac{1}{4}\)

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}+2\sqrt{4-x^2}\)

Cho 3x + y = 3

a) Tìm min M = 3x² + y²

b) Tìm max N = 2xy

cho các số dương a,b,c có a+b+c=3. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=\(\dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}+\dfrac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\dfrac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}\)

Cho a, b, c \(\in\)[1;3] và thỏa mãn điều kiện a+b+c=6. Tìm GTLN của P=\(a^2+b^2+c^2\)

Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{abc}\)

Cho \(x\ge y\ge z\ge0\). Chứng minh BĐT sau

a/ \(xy^3+yz^3+zx^3\ge xz^3+zy^3+yx^3\)

b/ \(\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\ge\dfrac{x^2z}{y}+\dfrac{y^2x}{z}+\dfrac{z^2y}{x}\)

tìm max s= \(\dfrac{\sqrt[3]{\left(a-2\right)\left(b-3\right)}}{a+b}\) với \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge2\\b\ge3\end{matrix}\right.\)

voi a, b , c là số thực . Cm

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)

cho\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge2\\b\ge3\\c\ge6\end{matrix}\right.\)

tìm max p= \(\dfrac{bc\sqrt{a-2}+ca\sqrt[3]{b-3}+ab\sqrt[4]{c-6}}{abc}\)

Cho x dương chứng minh: \(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\ge2\)

cho x, y, z >0 và x + y+z = 4. C/m: \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\ge36\)

cho x, y, z >0 và x+y+z=4. C/m: \(S=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge1\)

cm: \(|x|+|y|\)≥\(|x+y|\)

CM \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}\)

biết rằng các số x,y thõa mãn điều kiện x+y=1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=\(x^2+y^2+xy\)

cho a,b,c>0 Chứng minh rằng

\(abc+2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\right]\ge a+b+c\)