Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 3 Lôgarit

Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) \(log_{2}\frac{1}{8}\).

b) \(log_{\frac{1}{4}}2\).

c) \(log_{3}\sqrt[4]{3}\).

d) \({\log _{0,5}}0,125\).

Tính:

a) \(4^{log_{2}3}\).

b) \(27^{log_{9}2}\).

c) \(9^{log_{\sqrt{3}}2}\).

d) \(4^{log_{{8}}27}\).

Rút gọn biểu thức:

a) \(log_36. log_89. log_62\).

b) \(log_ab^2+log_{a^{2}}b^{4}\).

So sánh các cặp số sau:

a) log₃5 và log₇4.

b) log_0,32 và log₅3.

c)  log₂10 và log₅30.

a) Cho a = log₃₀3, b = log₃₀5. Hãy tính log₃₀1350 theo a, b.

b) Cho c = log₁₅3. Hãy tínhlog₂₅15 theo c.

a) Cho \(a = {\log _3}15,b = {\log _3}10\). Hãy tính \({\log _{\sqrt 3 }}50\), theo a và b

b) Cho \(a = {\log _2}3,b = {\log _3}5,c = {\log _7}2\). Hãy tính \({\log _{140}}63\) theo a, b, c.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. \({\log _3}\frac{6}{5} < {\log _3}\frac{5}{6}\)

B. \({\log _{\frac{1}{3}}}17 > {\log _{\frac{1}{3}}}9\)

C. \({\log _{\frac{1}{2}}}e < {\log _{\frac{1}{2}}}\pi \)

D. \({\log _2}\frac{{\sqrt 5 }}{2} > {\log _2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Tính giá trị bằng số của biểu thức \(\ln \frac{1}{e}\)

A. 1

B. - 1

C. \(\frac{1}{e}\)

D. \(-\frac{1}{e}\)

Tính giá trị bằng số của biểu thức \({9^{{{\log }_3}2}}\)

A. 2

B. 4

C. \(\frac{1}{3}\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Tính giá trị bằng số của biểu thức \({4^{{{\log }_{\sqrt 2 }}3}}\)

A. 81

B. 9

C. \(\frac{1}{3}\)

D. \(\frac{1}{{27}}\)

Tìm số dương trong các số sau đây.

A. \({\log _{\frac{2}{e}}}1,25\)

B. \({\log _{\frac{1}{3}}}0,25\)

C. \(\ln \frac{1}{{{e^2}}}\)

D. \({\log _{\frac{1}{e}}}3\)

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \({\log _2}3 > {\log _3}2\)

B. \({\log _{\frac{1}{2}}}4 = {\log _3}\frac{1}{9}\)

C. \({\log _4}3 < {\log _3}4\)

D. \({\log _2}3 < {\log _3}4\)

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

a) Cơ số của lôgarit là một số thực bất kì;

b) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên;

c) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên dương;

d) Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1;

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Có lôgarit của một số thực bất kì;

b) Chỉ có lôgarit của một số thực dương;

c) Chỉ có lôgarit của một số thực dương khác 1;

d) Chỉ có lôgarit của một số thực lớn hơn 1;

Điền thêm vế còn lại của đẳng thức và bổ sung điều kiện để đẳng thức đúng.

a) \({\log _a}\left( {xy} \right) = ...;\)

b) \(... = lo{g_x}x - lo{g_a}y\)

c) \({\log _a}{x^\alpha } = ...\)

d) \({a^{lo{g_a}b}} = ...\)

Trong mỗi mệnh đề sau, hãy tìm điều kiện của a để có mệnh đề đúng:

a) \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow 0 < x < y\)

b)  \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow x > y > 0\)

Hãy tìm lôgarit của mỗi số sau theo cơ số 3:

\(3;81;1;\frac{1}{9};\sqrt[3]{3};\frac{1}{{3\sqrt 3 }}\)

Tính:

\({\log _{\frac{1}{5}}}125;{\log _{0,5}}\frac{1}{2};{\log _{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{64}};{\log _{\frac{1}{6}}}36\)

Tính \({3^{{{\log }_3}18}};{3^{5{{\log }_3}2}};{\left( {\frac{1}{8}} \right)^{{{\log }_2}5}};{\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}\)

Tìm x biết 

a) \({\log _5}x = 4\)

b) \(lo{g_2}(5 - x) = 3\)

c) \(lo{g_3}(x + 2) = 3\)

d) \(lo{g_{\frac{1}{{16}}}}(0,5 + x) =  - 1\)

Biểu thị các lôgarit sau đây theo lôgarit thập phân (rồi cho kết quả bằng máy tính, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai): 

\({\log _7}25;{\log _5}8;{\log _9}0,75;{\log _{0,75}}1,13.\)

Hãy tính

a) \({\log _8}12{\rm{ }} - {\rm{ }}{\log _8}15{\rm{ }} + {\rm{ }}{\log _8}20\)

b) \(\frac{1}{2}{\log _7}36 - {\log _7}14 - 3{\log _7}\sqrt[3]{3}\)

c) \(\frac{{{{\log }_5}36 - {{\log }_5}12}}{{{{\log }_5}9}}\)

d) \({36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 - \log 2}} - {8^{{{\log }_2}3}}.\)

Hãy so sánh: 

a) \({\log _3}4\) và \({\log _4}\frac{1}{3}\)

b) \({3^{{{\log }_6}1,1}}\) và \(7^{{{\log }_6}0,99}\)

Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh:

a) \(\log 2 + \log 3\) với \({\log _5}\)

b) \(\log 12 - \log 5\) với \({\log _7}\)

c) \(3\log 2 + \log 3\) với \(2{\log _5}\)

d) \(1 + 2\log 3\) với \({\log _27}\)

Trong mỗi trường hợp sau, hãy tính \({\log _a}x\) biết \({\log _a}b = 3,{\log _a}c =  - 2\)

a) \(x = {a^3}{b^2}\sqrt c \)

b) \(x = \frac{{{a^4}\sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}}\)

Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm x:

a) \({\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b\)

b) \({\log _5}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\log _5}a{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\log _5}b\)

Hãy biểu diễn các lôgarit sau qua α và β

a) \({\log _{\sqrt 3 }}50\) nếu \({\log _3}15 = \alpha ,{\log _3}10 = \beta \)

b) \({\log _4}1250 = \alpha \) nếu \({\log _2}5 = \alpha \)

Đơn giản các biểu thức: 

a) \(\log \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\log 4 + 4\log \sqrt 2 \)

b) \(\log \frac{4}{9} + \frac{1}{2}\log 36 + \frac{3}{2}\log \frac{9}{2}\)

c) \(\log 72 - 2\log \frac{{27}}{{256}} + \log \sqrt {108} \)

d) \(\log \frac{1}{8} - \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625} \)

Tìm x biết 

a) \({\log _x}27 = 3\)

b) \({\log _x}\frac{1}{7} =  - 1\)

c) \({\log _x}\sqrt 5  =  - 4\)

Số nguyên tố dạng M_p = 2^p−1, trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp).

Ơ-le phát hiện M₃₁ năm 1750.

Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp). Phát hiện M₁₂₇ năm 1876.

M_1398269 được phát hiện năm 1996.

Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số?

(Dễ thấy rằng chữ số của 2^p−1$\mathrm{}$ bằng chữ số của 2^p và để tính chữ số của M₁₂₇ có thể lấy log2 ≈ 0,30 và để tính chữ số của M_1398269 có thể lấy log2 ≈ 0,30103 (xem ví dụ 8)

Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)

Tìm sai lầm trong lập luận sau:

Ta có: \(\ln {e^2} = 2\ln e = 2.1 = 2\)

Và \(\ln \left( {2e} \right) = \ln e +\ln e = 1 + 1 = 2\)

Từ đó suy ra \({e^2} = 2e\), mà e ≠ 0 nên e = 2!

\(\begin{array}{l}
\ln 500;\ln \frac{{16}}{{25}};\ln 6,25;\\
\ln \frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + ... + \ln \frac{{98}}{{99}} + \ln \frac{{99}}{{100}}
\end{array}\)

Chứng minh:

\(\frac{7}{{16}}\ln (3 + 2\sqrt 2 ) - 4\ln (\sqrt 2  + 1) - \frac{{25}}{8}\ln (\sqrt 2  - 1) = 0\)

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S = A.e^rt, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là ti lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?

Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutôni Pu²³⁹ là 24360 năm (tức là một lượng Pu²³⁹ sau 24360 năm phân hủy chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S=A.e^rt, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam Pu²³⁹ sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?