Giải bài 5 tr 121 sách GK Toán GT lớp 12
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt \(\widehat{POA}=\alpha\) và \(OM=R, \left ( 0\leq \alpha \leq \frac{\pi }{3}, R>0 \right )\).
Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh Ox (H.63).
a) Tính thể tích của V theo α và R.
b) Tìm \(\small \alpha\) sao cho thể tích V là lớn nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 5
Câu a:
Ta có: \(OP=R.cos\alpha ; PM=R.sin\alpha\)
⇒ Diện tích đáy B của khối tròn xoay V là: \(B= \pi .PM^2=\pi .R^2.sin^2\alpha .\)
Theo công thức (4) ta có thể tích của khối tròn xoay V là:
\(V=\frac{1}{3}B.OP=\frac{1}{3}.R.cos\alpha .\pi .R^2.sin^2\alpha\)
\(=\frac{1}{3}\pi .R^3.cos\alpha .sin^2\alpha =\frac{1}{3}\pi .R^3(cos\alpha -cos^3\alpha )\)
Với \(=\left ( 0\leq \alpha \leq \frac{\pi }{3} \right )\)
Câu b:
Ta có V lớn nhất \(\Leftrightarrow cos\alpha -cos^3\alpha\) lớn nhất.
Xét hàm số \(f(t)=t-t^3(t=cos\alpha )\). Khi \(\alpha \in \left ( 0;\frac{\pi }{3} \right )\) thì \(t \in \left ( \frac{1}{2};1\right )\)
Ta có: \(f'(t) = 1 - 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\
t = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên:
⇒ f(t) lớn nhất bằng \(\frac{2}{3\sqrt{3}}\) khi \(t=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Hay \(cos \alpha -cos^3\alpha\) lớn nhất: \(\frac{2}{3\sqrt{3}}\) đạt được khi \(cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy \(V_{max}=\frac{2\pi \sqrt{3}}{27}R^3\) khi \(cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}\).
-- Mod Toán 12 HỌC247
Video hướng dẫn giải bài 5 SGK
Bài tập SGK khác
Bài tập 3 trang 121 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 121 SGK Giải tích 12
Bài tập 26 trang 167 SGK Toán 12 NC
Bài tập 27 trang 167 SGK Toán 12 NC
Bài tập 28 trang 167 SGK Toán 12 NC
Bài tập 29 trang 172 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 172 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 172 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 173 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 173 SGK Toán 12 NC
Bài tập 34 trang 173 SGK Toán 12 NC
Bài tập 35 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 36 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 37 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 38 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 39 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3.31 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.32 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.33 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.34 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.35 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.36 trang 179 SBT Toán 12
Bài tập 3.37 trang 179 SBT Toán 12
Bài tập 3.38 trang 179 SBT Toán 12
Bài tập 3.39 trang 180 SBT Toán 12
Bài tập 3.40 trang 180 SBT Toán 12
-
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hai hàm số \(y = 7 - 2{x^2}\) và \(y = {x^2} + 4\).
bởi minh thuận 24/05/2021
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hai hàm số \(y = 7 - 2{x^2}\) và \(y = {x^2} + 4\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x ,y = 6 - x\) và trục hoành.
bởi Nguyen Ngoc 24/05/2021
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x ,y = 6 - x\) và trục hoành.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hai hàm số \(y = 2 - {x^2},y = x\)
bởi Phong Vu 25/05/2021
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hai hàm số \(y = 2 - {x^2},y = x\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hai hàm số \(y = 2 - {x^2},y = x\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 1\)
bởi bala bala 24/05/2021
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hai hàm số \(y = 2 - {x^2},y = x\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 1\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 2,y = x\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\).
bởi Nguyen Phuc 25/05/2021
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 2,y = x\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hàm số \(y = {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\), đường thẳng \(y = 2\) và đường thẳng \(y = 8\).
bởi Huy Tâm 25/05/2021
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hàm số \(y = {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\), đường thẳng \(y = 2\) và đường thẳng \(y = 8\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời