Bài tập 1 trang 121 SGK Giải tích 12

Câu a:

Xét phương trình:

\(x^2=x+2\Leftrightarrow x^2-x-2=0\Leftrightarrow x=-1;x=2\)

⇒ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=x^2\) và đường thẳng \(y=x+2\) là:

\(S=\int_{1}^{2} \left | x^2-(x+2) \right |dx= \int_{1}^{2}\left | x^2-x-2 \right |dx\)

Vì \(x^2-x-2\leq 0\) khi \(-1\leq x\leq 2\)

nên \(S=-\int_{1}^{2}(x^2-x-2)dx= \left ( -\frac{x^3}{3} +\frac{x^2}{2} +2x \right ) \Bigg|^2_1\)

\(=\left ( -\frac{8}{3}+2+4 \right )-\left ( \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2 \right )= \frac{9}{2}\)

Vậy \(S=\frac{9}{2}\) (đvdt)

Câu b:

Xét phương trình: \(\left | lnx \right | =1\Leftrightarrow x=e;x=\frac{1}{e}\)

Do đó diện tích cần tìm là: \(S=\int_{1}^{e} \left |\left | lnx \right |-1 \right |dx\)

Ta có: \(\left | lnx \right | = \left\{\begin{matrix} ln x \ neu \ x\geq 1\\ -lnx \ neu \ 0< x\leq 1 \end{matrix}\right.\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\left| { - {\mathop{\rm lnx}\nolimits}  - 1} \right|dx}  + \int\limits_1^e {\left| {\ln x - 1} \right|dx} \\ = \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\left| {{\mathop{\rm lnx}\nolimits}  + 1} \right|dx}  + \int\limits_1^e {\left| {\ln x - 1} \right|dx} \end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in \left[ {\frac{1}{e};1} \right] \Rightarrow  - 1 \le \ln x \le 0 \Rightarrow 0 \le \ln x + 1 \le 1\\\forall x \in \left[ {1;e} \right] \Rightarrow 0 \le \ln x \le 1 \Rightarrow  - 1 \le \ln x - 1 \le 0\end{array} \right.\)

Vậy: \(S = \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\left( {{\mathop{\rm lnx}\nolimits}  + 1} \right)dx}  - \int\limits_1^e {\left( {\ln x - 1} \right)dx} \)

\( = \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {dx}  + \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\ln xdx}  + \int\limits_1^e {xdx}  - \int\limits_1^e {\ln xdx} \)

\(\begin{array}{l} =  - \frac{1}{e} + e + \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\ln xdx}  - \int\limits_1^e {\ln xdx} \\ =  - \frac{1}{e} + e + \left. {x\ln x} \right|_{\frac{1}{e}}^1 - \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {dx}  - \left. {x\ln x} \right|_1^e + \int\limits_1^e {dx} \\ =  - \frac{1}{e} + e + \frac{2}{e} - 1 - 1 = \frac{1}{e} + e - 2\end{array}\)

Câu c:

Xét phương trình: \((x-6)^2=6x-x^2\Leftrightarrow 2x^2-18x+36=0\)

\(\Leftrightarrow x=3;x=6\)

Do đó diện tích cần tìm là:

\(S=\int_{3}^{6} \left | (x-6)^2-(6x-x^2) \right |dx= \int_{3}^{6} \left | 2x^2-18x+36 \right |dx\)

\(=-2\int_{3}^{6}(x^2-9x+18)dx\)

(Vì: \(2x^2-18x+36 \leq 0\) khi \(3\leq x\leq 6\))

\(=-2\left ( \frac{x^3}{3}-\frac{9}{2}x^2+18x \right ) \bigg|^6_3=-2\left ( 8-\frac{45}{2} \right )=9\) (đvdt).

-- Mod Toán 12 HỌC247

Video hướng dẫn giải bài 1 SGK