Bài tập 4 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Phương pháp giải:

Xét phương trình: \(a\sin {}^2x + b\sin x\cos x + c\cos {}^2x = d \)

Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không

Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0\)  \(\left( {1'} \right)\)

Đặt \(t = \tan x\)

Phương trình \(\left( {1'} \right)\) trở thành: \((a - d){t^2} + bt + c - d = 0{\rm{   (2)}}\)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x  theo \(t = \tan x\).

Lời giải:

Câu a:

Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế cho cos²x ta được:

\(\Rightarrow 2tan^2x+tanx-3=0\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} tan x = 1\\ \\ tan x = -\frac{3}{2} \end{matrix}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x= \frac{\pi }{4}+k \pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ x= arctan\left (-\frac{3}{2} \right )+k \pi \end{matrix} , k\in \mathbb{Z}\)

Câu b:

Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình:

\(3sin^2x+4sinxcosx+5cos^2x=2\), nên chia hai vế phương trình cho cos²x ta được: \(3tan^2x-4tanx+5=2(1+tan^2x)\)

\(\Leftrightarrow tan^2x-4tanx+3=0\)

Đặt t = tanx

Ta có phương trình \(t^2-4t+3=0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=1\\ t=3 \end{matrix}\)

\(t=1\Rightarrow tanx=1\Rightarrow tanx=tan\frac{\pi }{4}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\).

\(t=3\Rightarrow tanx=3\Rightarrow x= arctan(3)+k \pi, (k\in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x= arctan(3)+k \pi \end{matrix} , (k\in \mathbb{Z})\)

Câu c:

\(sin^2x+sin2x-2cos^2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sin^2x+2sinxcosx-2cos^2x=\frac{1}{2}\)  (3)

* \(cosx=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\) không là nghiệm của (3)

* \(cosx\neq 0\), chia hai vế của (3) cho \(cos^2x\), ta được:

\(\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{2sinx}{cosx}-2=\frac{1}{2cos^2x}\Rightarrow tan^2x+2tanx-2=\frac{1}{2}(1+tan^2x)\)

\(\Rightarrow 2tan^2x+4tanx-4=1+tan^2x\)

\(\Rightarrow tan^2x +4tanx-5=0\)

Đặt t = tanx, ta có phương trình:

\(t^2+4t-5=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t=-5 \end{matrix}\)

• \(t=1\Rightarrow tanx=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\)
• \(t=-5 \Rightarrow tanx=-5\Rightarrow x=arctan(-5)+k\pi, k\in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(\bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x=arctan(-5)+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)

Câu d:

\(2cos^2x - 3\sqrt{3}sin2x - 4sin^2x = -4\)

\(\Leftrightarrow 2cos^2x - 6\sqrt{3}sinxcosx -4(1-cos^2x)+4= 0\)

\(\Leftrightarrow 2cos^2x - 6\sqrt{3}sinxcosx - 4+4cos^2x+4= 0\)

\(\Leftrightarrow 6cos^2x-6\sqrt{3}sinxcosx=2\)

\(\Leftrightarrow 6cosx(cosx - \sqrt{3}sinx) = 0\)

\(\Bigg \lbrack\begin{matrix} cosx=0\\ \\ cosx-\sqrt{3}sinx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\\ \\ cosx=\sqrt{3}sinx \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\\ \\ tanx=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\ \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\ \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247