Giải bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 3 Một số phương trình lượng giác thường gặp

Giải phương trình: \(\small sin^2x - sinx = 0\)

Giải các phương trình sau:

a) \(\small 2cos^2x - 3cosx + 1 = 0\);

b) \(\small 2sin2x + \sqrt{2}sin4x = 0\).

Giải các phương trình sau:

a) \(sin^2(\frac{x}{2}) - 2cos(\frac{x}{2}) + 2 = 0\);          

b) \(\small 8cos^2x + 2sinx - 7 = 0\);

c) \(\small 2tan^2x + 3tanx + 1 = 0\);              

 d) \(\small tanx -2cotx + 1 = 0\).

Giải các phương trình sau:

a) \(\small 2sin^ 2x + sinxcosx - 3cos^2x = 0\)

b) \(\small 3sin^2x - 4sinxcosx + 5cos^2x = 2\)

c) \(\small 3sin^2x - sin2x + 2cos^2x = \frac{1}{2}\)

d) \(\small 2cos^2x -3\sqrt{3}sin2x -4sin^2x = -4\)

Giải các phương trình sau:

a) \(\small cosx - \sqrt{3}sinx = \sqrt{2}\)

b) \(\small 3sin3x - 4cos3x = 5\)

c) \(\small 2sin2x + 2cos2x -\sqrt{2} = 0\)

d) \(\small 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0\) 

Giải phương trình:

a. \(\small tan(2x + 1) tan(3x - 1) = 1\)

b. \(\small tanx + tan(x + \frac{\pi }{4}) = 1\)

Giải các phương trình sau

a) cos2x−sinx−1 = 0

b) cosxcos2x = 1+sinxsin2x

c) 4sinx.cosx.cos2x = −1

d) tanx = 3cotx

Giải các phương trình

a) 3cos²x−2sinx+2 = 0

b) 5sin²x+3cosx+3 = 0

c) sin⁶x+cos⁶x = 4cos²2x

d) \( - \frac{1}{4} + {\sin ^2}x = {\cos ^4}x\)

Giải các phương trình sau

a) 2tanx−3cotx−2 = 0

b) cos²x = 3sin2x+3

c) cotx−cot2x = tanx+1

Giải các phương trình sau

a) cos²x+2sinxcosx+5sin²x = 2

b) 3cos²x−2sin2x+sin²x = 1

c) 4cos²x−3sinxcosx+3sin²x = 1

Giải các phương trình sau

a) 2cosx−sinx = 2

b) sin5x+cos5x = −1

c) 8cos⁴x−4cos2x+sin4x−4 = 0

d) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x + \frac{1}{2}\sin 4x = 0\)

Giải các phương trình sau

a) 1+sinx−cosx−sin2x + 2cos2x = 0

b) \(\sin x - \frac{1}{{\sin x}} = {\sin ^2}x - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

c) cosxtan3x = sin5x

d) 2tan²x+3tanx$+$2cot²x+3cotx+2 = 0

Giải phương trình \(\cot x - \tan x + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}\)

Nghiệm của phương trình \(3\cot x - \sqrt 3  = 0\) là

A. \(\frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

B. \(\frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

C. \(\frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

D. \(\frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k 2\in Z} \right)\)

Nghiệm của phương trình sau sin⁴x−cos⁴x = 0 là

A. \(\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\)

B. \(\frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in Z\)

C. \(\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in Z\)

D. \(\frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\)

Cho phương trình \(4{\cos ^2}2x + 16\sin x\cos x - 7 = 0\) (1)

Xét các giá trị :

(I) \(\frac{\pi }{{12}} + k\pi \)

(II) \(\frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)                

(III) \(\frac{\pi }{{12}} + k\pi \)

Trong các giá trị trên giá trị nào là nghiệm của phương trình (1) ?

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Chỉ (III)

D. (II) và (III)

Nghiệm của phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x là

A. \({\frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z}\)

B. \({-\frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z}\)

C. \({k\frac{\pi }{4},k \in Z}\)

D. \({k\frac{\pi }{3},k \in Z}\)

Cho phương trình \(\sqrt 3 \cos x + \sin x = 2{\rm{(*)}}\)

Xét các giá trị

(I) \(\frac{\pi }{2} + k2\pi \)

(II) \(\frac{\pi }{3} + k2\pi \)

(III) \(\frac{\pi }{6} + k2\pi \)

(\(k\in Z\))

Trong các giá trị trên, giá trị nào à nghiệm của phương trình (*)?

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Chỉ (III)

D. (I) và (III)

Nghiệm của phương trình 3tan2x+6cotx = −tanx là

A. \(k\frac{\pi }{4},k \in Z\)

B. \( \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in Z\)

C. \(\frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\)

D. \(k\frac{\pi }{2},k \in Z\)

Nghiệm của phương trình 2sinx = 3cotx là

A. \(\frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z\)

B. \( \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z\)

C. \(\frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in Z\)

D. \( \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z\)

Giải các phương trình sau:

a) \(2\cos x - \sqrt 3  = 0\)

b) \(\sqrt 3 \tan 3x - 3 = 0\)

c) \(\left( {\sin x + 1} \right)\left( {2\cos 2x - \sqrt 2 } \right) = 0\)

Giải các phương trình sau:

a) \(2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0\)

b) \({\cos ^2}x + \sin x + 1 = 0\)

c) \(\sqrt 3 {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + 1 = 0\)

Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi để tính gần đúng nghiệm của chúng (tính chính xác đến hàng phần trăm):

a.  \(3\cos 2x + 10\sin x + 1 = 0\) trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)

b.  \(4\cos 2x + 3 = 0\) trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

c.  \({\cot ^2}x - 3\cot x - 10 = 0\) trên (0;π)

d.  5−3tan3x = 0 trên \(\left( { - \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}} \right)\)

Giải các phương trình sau:

a) \(3\cos x + 4\sin x =  - 5\)

b) \(2\sin 2x - 2\cos 2x = \sqrt 2 \)

c) \(5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13\)

Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng. Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm t giây được tính theo công thức h = |d| trong đó d = 5sin6t–4cos6t với d được tính bằng xentimet, ta quy ước rằng d > 0 khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, d < 0 khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi:

a. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng?

b. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất?

(Tính chính xác đến \(\frac{1}{{100}}\) giây).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a. asinx+bcosx (a và b là hằng số, a²+b² ≠ 0) ;

b.  sin²x+sinxcosx+3cos²x;

c. Asin²x+Bsinxcosx+Ccos²x (A, B và C là hằng số).

Giải các phương trình sau:

a.  \(2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 4\)

b. \(3{\sin ^2}x + 4\sin 2x + \left( {8\sqrt 3  - 9} \right){\cos ^2}x = 0\)

c.  \({\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = \frac{1}{2}\)

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc tích thành tổng để giải các phương trình sau:

a) \(\cos x\cos 5x = \cos 2x\cos 4x\)

b) \(\cos 5x\sin 4x = \cos 3x\sin 2x\)

c) \(\sin 2x + \sin 4x = \sin 6x\)

d) \(\sin x + \sin 2x = \cos x + \cos 2x\)

Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau:

a) \({\sin ^2}4x + {\sin ^2}3x = {\sin ^2}2x + {\sin ^2}x\)

b) \({\cos ^2}x + {\cos ^2}2x + {\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x = 2\)

Giải các phương trình sau:

a. \(\tan \frac{x}{2} = \tan x\)

b.  \(\tan \left( {2x + {{10}^0}} \right) + \cot x = 0\)

c.  \(\left( {1 - \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x\)

d.  tanx+tan2x = sin3xcosx

e.  tanx+cot2x = 2cot4x

Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng (h. 1.32) được biểu diễn qua thời gian t (t ≥ 0 và được tính bằng giây) bởi hệ thức h = |d| với \(d = 3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right]\), trong đó ta quy ước rằng d > 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp trái lại.

a. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

b. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét (tính chính xác đến \(\frac{1}{{100}}\) giây).

Giải các phương trình sau:

a) \({\cos ^2}x - 3{\sin ^2}x = 0\)

b) \({\left( {\tan x + \cot x} \right)^2} - \left( {\tan x + \cot x} \right) = 2\)

c) \(\sin x + {\sin ^2}\frac{x}{2} = 0,5\)

Chứng minh rằng các phương trình sau đây vô nghiệm:

a. sinx–2cosx = 3

b. 5sin2x+sinx+cosx+6 = 0

Hướng dẫn b. Đặt sinx+cosx = t

Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng đã cho (khi cần tính gần đúng thì tính chính xác đến \(\frac{1}{{10}}\) giây)

a.  \(2{\sin ^2}x - 3\cos x = 2,{0^0} \le x \le {360^0}\)

b.  \(\tan x + 2\cot x = 3,\,\,{180^0} \le x \le {360^0}\)

Giải các phương trình sau:

a.  3sin²x−sin2x−cos²x = 0

b.  3sin²2x−sin2xcos2x−4cos²2x = 2

c.  \(2\sin 2x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {\sqrt 3  - 1} \right)\cos 2x =  - 1\)

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\)

b) \(\sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x\)

c) \(\frac{1}{{\sin 2x}} + \frac{1}{{\cos 2x}} = \frac{2}{{\sin 4x}}\)

d) \(\sin x + \cos x = \frac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}}\)