Bài tập 42 trang 47 SGK Toán 11 NC

a)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x\\
 = \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \cos 2x
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos  + 1} \right) - \cos 2x\left( {2\cos  + 1} \right) = 0}\\
{ \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 0}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2\cos x + 1 = 0}\\
{\sin 2x - \cos 2x = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x =  - \frac{1}{2}}\\
{\tan 2x = 1}
\end{array}} \right.}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\
{x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}}
\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)}
\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}
\sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \sin 5x\\
 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin 5x\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
5x = \frac{{3\pi }}{4} - x + k2\pi 
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2}\\
x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{3}
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

c) ĐKXĐ: sin4x ≠ 0 (điều kiện này đã bao gồm sin2x ≠ 0 và cos2x ≠ 0).

Với điều kiện đó, ta có thể nhân hai vế của phương trình với sin4x:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{\sin 2x}} + \frac{1}{{\cos 2x}} = \frac{2}{{\sin 4x}}\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sin 2x}} + \frac{1}{{\cos 2x}} = \frac{1}{{\sin 2x\cos 2x}}\\
 \Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x = 1\\
 \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = k2\pi \\
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi 
\end{array} \right.
\end{array}\)

Ta thấy: Nếu 2x = k2π thì sin2x = 0; nếu \(2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) thì cos2x = 0, nên các giá trị đó của x đều không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) ĐKXĐ: sin2x ≠ 1. Với điều kiện đó, ta có:

\(\begin{array}{l}
\sin x + \cos x = \frac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}}\\
 \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}}\\
 \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \frac{1}{{\cos x - \sin x}}} \right) = 0
\end{array}\)

\(\sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi,k\in Z (n)\)

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{\cos x - \sin x}} = 1 \Leftrightarrow \cos x - \sin x = 1\\
 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k2\pi \left( n \right)}\\
{x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( n \right)}
\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247