Giải phương trình lượng giác sau: \(12\cos x + 5\sin x \)\(+ {5 \over {12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0\)

Đặt \(y = 12\cos x + 5\sin x + 14\), ta có phương trình \(y + {5 \over y} - 6 = 0\).

\( \Leftrightarrow {y^2} - 6y + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
y = 5
\end{array} \right.\)

Do đó

\(\left[ \matrix{
12\cos x + 5\sin x + 14 = 1 \hfill \cr 
12\cos x + 5\sin x + 14 = 5 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
12\cos x + 5\sin x = - 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr 
12\cos x + 5\sin x = - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)

Chia hai vế của phương trình (1) và (2) cho \(13\left( {13 = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} } \right)\), gọi \(\alpha \) là số thỏa mãn \(\cos \alpha  = {{12} \over {13}}\) và \(\sin \alpha  = {5 \over {13}}\), ta có :

(1) \( \Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) =  - 1\)

\( \Leftrightarrow x - \alpha  = \pi  + k2\pi \)

\(\Leftrightarrow x = \alpha  + \pi  + k2\pi \)

(2) \( \Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) =  - {9 \over {13}}\)

\(\Leftrightarrow x = \alpha  \pm \arccos \left( { - {9 \over {13}}} \right) + k2\pi \)