Bài tập 41 trang 129 SGK Toán 9 Tập 2

Hướng dẫn giải

a) Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

b) Công thức tính diện tích hình thang có đáy lớn là \(a,\) đáy nhỏ là \(b\) và chiều cao \(h\) là: \(S = \dfrac{{\left( {a + b} \right)h}}{2}.\) 

c) Thể tích hình nón: \( V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h.\)

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác vuông \(AOC\) và \(BDO\) ta có: \(\widehat A = \widehat B = {90^0}\) 

 \(\widehat {AOC} = \widehat {B{\rm{D}}O}\) (cùng phụ với \(\widehat{BOD}\)).

Vậy \(∆AOC\) đồng dạng \(∆BDO \, \, (g-g).\) 

\( \displaystyle \Rightarrow {{AC} \over {AO}} = {{BO} \over {B{\rm{D}}}} \, \, hay \, \, {{AC} \over a} = {b \over {B{\rm{D}}}}.\) (1)

Vậy \(AC . BD = a . b \) không đổi.

b) Khi \(\widehat {COA} = 60^\circ \) , xét tam giác vuông \(ACO\) ta có \(\tan \widehat {AOC} = \dfrac{{AC}}{{OA}} \Rightarrow \tan 60^\circ  = \dfrac{{AC}}{a} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \)

mà \(AC.BD = ab\) (câu a) nên \(a\sqrt 3 .BD = ab \Rightarrow BD = \dfrac{{b\sqrt 3 }}{3}\)

Ta có công thức tính diện tích hình thang \(ABCD\) là: 

\(\eqalign{
& S = {{AC + B{\rm{D}}} \over 2}.AB = \displaystyle {{a\sqrt 3 + {{b\sqrt 3 } \over 3}} \over 2}.\left( {a + b} \right) \cr
& = {{\sqrt 3 } \over 6}\left( {3{{\rm{a}}^2} + 4{\rm{a}}b + {b^2}} \right)\left( {c{m^2}} \right) \cr} \)

c) Theo đề bài ta có:

Tam giác \(AOC\) khi quay quanh cạnh \(AB\) tạo thành hình nón có chiều cao \(OA = a\) và bán kính đáy \(AC = a\sqrt 3 \)  nên thể tích hình nón là \({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .OA.A{C^2} = \dfrac{1}{3}\pi .a.{\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = \pi {a^3}\left( {c{m^3}} \right)\)

Tam giác \(BOD\) khi quay quanh cạnh \(AB\) tạo thành hình nón có chiều cao \(OB = b\) và bán kính đáy \(BD = \dfrac{{b\sqrt 3 }}{3}\)  nên thể tích hình nón là \({V_2} = \dfrac{1}{3}\pi .OB.B{D^2} = \dfrac{1}{3}\pi .b.{\left( {\dfrac{{b\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{\pi {b^3}}}{9}\left( {c{m^3}} \right)\)

Do đó \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{\dfrac{{\pi {b^3}}}{9}}} = \dfrac{{9{a^3}}}{{{b^3}}}\)

-- Mod Toán 9 HỌC247