Bài tập 44 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2

Hướng dẫn giải

+) Thể tích hình trụ: \(V=\pi r^2 h.\)

+) Thể tích hình nón: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h.\)

+) Thể tích hình cầu:  \(V = \dfrac{4}{3}\pi {r^3}.\) 

+) Diện tích toàn phần của hình trụ: \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}.\)

+) Diện tích toàn phần của hình nón: \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}.\) 

Lời giải chi tiết

Khi quay hình vẽ quanh trục \(GO\) ta được:

a) Thể tích hình trụ được tạo bởi hình vuông \(ABCD\) là:

\(\displaystyle V = \pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2}.BC\) với \(BC=AB = \sqrt {OA^2+OB^2}=\sqrt {2R^2}=R\sqrt2.\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow V = \pi {\left( {{{R\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}.R\sqrt 2 \cr
& = \pi .{{2{{\rm{R}}^2}} \over 4}.R\sqrt 2 = {{\pi {{\rm{R}}^3}\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \Rightarrow {V^2} = \left( {{{\pi {R^3}\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2 = {{{\pi ^2}{R^6}} \over 2}(1) \cr}\)

Thể tích hình cầu có bán kính \(R\) là: \(\displaystyle {V_1} = {4 \over 3}\pi {R^3}\) 

Thể tích hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng \(\displaystyle {{EF} \over 2}\) là:

 \(\displaystyle {V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {{{EF} \over 2}} \right)^2}.GH\)

Với \(EF = R\sqrt3\) (cạnh tam giác đều nội tiếp trong đường tròn \((O;R)\))

và \(\displaystyle GH = {{EF\sqrt 3 } \over 2} = {{R\sqrt {3.} \sqrt 3 } \over 2} = {{3R} \over 2}\) 

Thay vào V₂, ta có: \(\displaystyle {V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}.{{3{\rm{R}}} \over 2} = {3 \over 8}\pi {R^3}\) 

Ta có: \(\displaystyle {V_1}{V_2} = {4 \over 3}\pi {R^3}.{3 \over 8}\pi {R^3} = {{{\pi ^2}{R^6}} \over 2}(2)\)

So sánh (1) và (2) ta được : \({V^2} = {V_1}.{V_2}\)

b) Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính \(\displaystyle {{AB} \over 2}\) là: 

\(\eqalign{
& S = 2\pi \left( {{{AB} \over 2}} \right).BC + 2\pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2} \cr
& S = 2\pi .{{R\sqrt 2 } \over 2}R\sqrt 2 + 2\pi {\left( {{{R\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} \cr
& S = 2\pi {R^2} + \pi {R^2} = 3\pi {R^2} \cr
& \Rightarrow {S^2} = {\left( {3\pi {R^2}} \right)^2} = 9{\pi ^2}.{R^4}(1) \cr} \) 

Diện tích mặt cầu có bán kính \(R\) là: \({S_1} = {\rm{ }}4\pi {R^2}\) (2)

Diện tích toàn phần của hình nón là: 

\(\displaystyle {S_2} = \pi {{EF} \over 2}.FG + \pi {\left( {{{EF} \over 2}} \right)^2}\)

\(\displaystyle = \pi {{R\sqrt 3 } \over 2}.R\sqrt 3  + \pi {\left( {{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = {{9\pi {R^2}} \over 4}\) 

Ta có: \(\displaystyle {S_1}{S_2} = 4\pi {R^2}.{{9\pi {R^2}} \over 4} = 9{\pi ^2}{R^4}(2)\)

So sánh (1) và (2) ta có: \({S^2} = {\rm{ }}{S_1}.{\rm{ }}{S_2}\)

-- Mod Toán 9 HỌC247