Giải bài tập Toán 10 Ôn tập chương III Phương trình, hệ phương trình

Khi nào hai phương trình được gọi là tương đương? Cho ví dụ.

Thế nào là phương trình hệ quả? Cho ví dụ.

Giải các phương trình

a) \(\sqrt {x - 5}  + x = \sqrt {x - 5}  + 6\)            b) \(\sqrt {1 - x}  + x = \sqrt {x - 1}  + 2\)

c) \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{8}{{\sqrt {x - 2} }}\)            d) \(3 + \sqrt {2 - x}  = 4{x^2} - x + \sqrt {x - 3} \)

Giải các phương trình
a) \(\frac{{3x + 4}}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}} = \frac{4}{{{x^2} - 4}} + 3\) 
b) \(\frac{{3{x^2} - 2x + 3}}{{2x - 1}} = \frac{{3x - 5}}{2}\) 
c) \(\sqrt {{x^2} - 4}  = x - 1\)

Giải các hệ phương trình:

a) \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 5y = 9\\4x + 2y = 11\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 12\\5x - 2y = 7\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 5\\3x + 2y = 8\end{array} \right.\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 3y = 15\\4x - 5y = 6\end{array} \right.\)

Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người thứ hai làm được 4 giờ thì họ sơn được \(\frac{5}{9}\) bức tường. Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ thì chỉ còn lại \(\frac{1}{{18}}\) bức tường chưa sơn. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn xong bức tường?

Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + z =  - 7\\ - 4x + 5y + 3z = 6\\x + 2y - 2z = 5\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 2z = 1\\ - 2x + 3y + z =  - 6\\3x + 8y - z = 12\end{array} \right.\)

Ba phân số đều có tử số là 1 và tổng của ba phân số đó bằng 1. Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba, còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ ba. Tìm các phân số đó.

Một phân xưởng được giao sản xuất 360 sản phẩm trong một số ngày nhất định. Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với định mức, nên trước khi hết hạn một ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5%. Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi hết hạn phân xưởng đó làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm.

Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi

a) \(5{x^2} - 3x - 7 = 0\)             b) \(3{x^2} + 4x + 1 = 0\)

c) \(0,2{x^2} + 1,2x - 1 = 0\)      d) \(\sqrt 2 {x^2} + 5x + \sqrt 8  = 0\)

Giải các phương trình:

a) \(|4x - 9|\,\, = \,\,3 - 2x\)                          b) \(|2x + 1|\,\, = \,\,|3x + 5|\)

Tìm hai cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật trong hai trường hợp.

a) Chu vi là 94,4m và diện tích là \(494,55{m^2}\)

b) Hiệu của hai cạnh là 12,1m và diện tích là 1089 \({m^2}\)

Hai người quét sân. Cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút, trong khi nếu chỉ quét một mình thì người thứ nhất quét hết nhiều hơn 2 giờ so với người thứ hai. Hỏi mỗi người quét sân một mình thì hết mấy giờ?

Tìm điều kiện của mỗi phương trình sau:

a) \(\sqrt { - 3x + 2}  = \frac{2}{{x + 1}}\)

b) \(\sqrt {x - 2}  + x = 3{x^2} + 1 - \sqrt { - x - 4} \)

c) \(\frac{{x+4}}{{\sqrt {3{x^2} + 6x + 11} }} = \sqrt {2x + 1} \)

d) \(\frac{{\sqrt { - 3x + 2} }}{{{x^2} - 9}} = x + 2\)

Xác định m để mỗi cặp phương trình sau tương đương:

a) 3x - 1 = 0 và \(\frac{{3mx + 1}}{{x - 2}} + 2m - 1 = 0\)

b) \({x^2} + 3x - 4 = 0\) và \(m{x^2} - 4x - m + 4 = 0\)

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) \(2m\left( {x - 2} \right) + 4 = \left( {3 - {m^2}} \right)x\)

b) \(\frac{{\left( {m + 3} \right)x}}{{2x - 1}} = 3m + 2\)

c) \(\frac{{8mx}}{{x + 3}} = \left( {4m + 1} \right)x + 1\)

d) \(\frac{{\left( {2 - m} \right)x}}{{x - 2}} = \left( {m - 1} \right)x - 1\)

Cho phương trình

    3x² + 2(3m - 1)x + 3m² - m + 1 = 0

a) Với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm?

b) Giải phương trình khi m = - 1.

Cho phương trình

    (m + 1)x² + (3m - 1)x + 2m - 2 = 0.

Xác định m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ mà x₁ + x₂ = 3. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Giải các phương trình:

a) \(\frac{{\sqrt {4{x^2} + 7x - 2} }}{{x + 2}} = \sqrt 2 \)

b) \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 4}  = \sqrt {7x + 2} \)

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) \(\left| {2x - 5m} \right| = 2x - 3m\)

b) \(\left| {3x + 4m} \right| = \left| {4x - 7m} \right|\)

c) \(\left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + m + 2 = 0\)

d) \(\frac{{{x^2} - \left( {m + 1} \right)x - \frac{{21}}{4}}}{{x - 3}} = 2x + m\)

Giải phương trình \(\sqrt[3]{{\frac{1}{2} + x}} + \sqrt {\frac{1}{2} - x}  = 1\)

Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
 - 0,5x + 0,4y = 0,7\\
0,3x - 0,2y = 0,4
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{3}{5}x - \frac{4}{3}y = \frac{2}{5}\\
 - \frac{2}{3}x - \frac{5}{9}y = \frac{4}{3}
\end{array} \right.\)

Giải các hệ phương trình:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 3z = 2\\
2x + 7y + z = 5\\
 - 3z + 3y - 2z =  - 7
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
 - x - 3y + 4z = 3\\
3x + 4y - 2z = 5\\
2x + y + 2z = 4
\end{array} \right.\)

Tìm các giá trị của a và b để các hệ phương trình sau có vô số nghiệm:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
3x + ay = 5\\
2x + y = b
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
ax + 2y = a\\
3x - 4y = b + 1
\end{array} \right.\)

Một gia đình có bốn người lớn và ba trẻ em mua vé xem xiếc hết 370 000 đồng. Một gia đình khác có hai người lớn và hai trẻ em cũng mua vé xem xiếc tại rạp đó hết 200 000 đồng. Hỏi giá vé người lớn và giá vé trẻ em là bao nhiêu.

Nếu lấy một số có hai chữ số chia cho tích hai chữ số của nó thì được thương là 2 và dư là 18. Nếu lấy tổng bình phương các chữ số của số đó cộng với 9 thì được số đã cho. Hãy tìm số đó.

Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có 57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7,5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại?

Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x+\left( {3m + 1} \right)y = m - 1\\
\left( {m + 2} \right)x + \left( {4m + 3} \right)y = m
\end{array} \right.\)

Phương trình ax + b = 0 có thể có nghiệm trong những trường hợp nào?

Giả sử ba phương trình f(x).g(x) = 0, f(x) = 0 và g(x) = 0 (với cùng tập xác định) có các tập nghiệm lần lượt là T, T1 và T2. Hãy chọn kết luận đúng trong hai kết luận sau:

a) T = T1 ∩ T2;

b) T = T1 ∪ T2.

Hệ phương trình dạng \(\left\{ \begin{array}{l}
ax + by = c\\
a'x + b'y = c'
\end{array} \right.\) (\({a^2} + {b^2} \ne 0\) và \(a{'^2} + b{'^2} \ne 0\)) có thể có nghiệm trong trường hợp nào ?

Áp dụng: Tìm a để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
ax + y = {a^2}\\
x + ay = 1
\end{array} \right.\) có nghiệm ?

Biết rằng phương trình ax² + bx + c = 0 có một nghiệm kép xo. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

(A) Tam thức bậc hai ax² + bx + c có thể viết dưới dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất;

(B) Parabol y = ax² + bx + c có đỉnh thuộc trục hoành;

(C) Phương trình cx² + bx + a = 0 cũng có một nghiệm kép là \(\frac{1}{{{x_0}}}\)

Giải và biện luận phương trình: m(mx –1) = x + 1

Cho phương trình p(x + 1) − 2x = p² + p − 4. Tìm các giá trị của p để:

a) Phương trình nhận 1 làm nghiệm;

b) Phương trình có nghiệm;

c) Phương trình vô nghiệm.

Ba cạnh của một tam giác vuông có độ dài là 3 số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài của chúng.

Cho phương trình (m − 1)x² + 2x − 1 = 0

a) Giải và biện luận phương trình.

b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm khác dấu.

c) Tìm các giá trị của m sao cho tổng bình phương hai nghiệm của nó bằng 1.

Với giá trị nào của a thì hai phương trình sau có nghiệm chung:

x² + x + a = 0 và x² + ax + 1 = 0

Cho các phương trình:

x² + 3x − m + 1 = 0  (1) và 

2x² − x + 1 − 2p = 0    (2)

a) Biện luận số nghiệm của mỗi phương trình bằng đồ thị.

b) Kiểm tra lại kết quả trên bằng phép tính.

Giải các hệ phương trình 

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + xy = 7\\
{x^2} + {y^2} - xy = 3
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
2{\left( {x + y} \right)^2} - xy = 1\\
{x^2}y + x{y^2} = 0
\end{array} \right.\)

Giải và biện luận các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
mx + 3y = m - 1\\
2x + \left( {m - 1} \right)y = 3
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
5x + \left( {a - 2} \right)y = a\\
\left( {a + 3} \right)x + \left( {a + 3} \right)y = 2a
\end{array} \right.\)

Giải và biện luận các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 4\\
xy = m
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2y = 1\\
{x^2} + {y^2} = m
\end{array} \right.\)

Tìm a, b và c để Parabol y = ax² + bx + c (P) có đỉnh là I(1; -4) và đi qua điểm M(2; -3). Hãy vẽ Parabol nhận được.

Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c.Ta lấy một điểm M trên cạnh BC. Qua M, ta kẻ các đường thẳng ME và MF thứ tự song song với các cạnh AC và AB (E ∈ AB, F ∈ AC). Hỏi phải lấy điểm M cách B bao nhiêu để tổng ME + MF = l (l là độ dài cho trước)? Biện luận theo l, a, b và c