Bài tập 64 trang 100 SGK Toán 8 Tập 1

Theo giả thiết \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD//BC,AB//CD\) 

Vì \(AD//BC\) \( \Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {ABC}= {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Vì \(AG\) là tia phân giác \(\widehat {DAB}\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {BAG}=\widehat {DAH} = \dfrac{1}{2}\widehat {DAB}\) (tính chất tia phân giác)

Vì \(BG\) là tia phân giác \(\widehat {ABC}\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \)  \(\widehat {ABG} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Do đó: \(\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {DAB} + \widehat {ABC}} \right) \)\(= \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}\)

Xét \(\Delta AGB\) có:

\(\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = {90^0}\)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác vào tam giác \(AGB\) ta có:

\(\widehat {BAG} + \widehat {ABG} + \widehat {AGB} = {180^0}\)

\( \Rightarrow\widehat {AGB} =180^0- (\widehat {BAG} + \widehat {ABG} )\)\(=180^0-{90^0}=90^0\) (*)

+ Vì \(AB//DC\) \( \Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {ADC}= {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

+ Vì \(DE\) là tia phân giác \(\widehat {ADC}\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {ADH}=\widehat {EDC} = \dfrac{1}{2}\widehat {ADC}\) (tính chất tia phân giác)

Do đó: \(\widehat {DAH} + \widehat {ADH} = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {DAB} + \widehat {ADC}} \right) \)\(= \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}\)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác vào tam giác \(ADH\) ta có:

\(\widehat {DAH} + \widehat {ADH} + \widehat {AHD} = {180^0}\)

\( \Rightarrow\widehat {AHD} =180^0- (\widehat {DAH} + \widehat {ADH} )\)\(=180^0-{90^0}=90^0\)

Suy ra \(AH\bot HD\) nên \(\widehat {EHG}=90^0\) (**)

Chứng minh tương tự: 

Ta có: \( \widehat {DCB} + \widehat {ADC}= {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Mà \(\widehat{ECD}=\dfrac{1}2\widehat {DCB}\) (do CE là phân giác góc DCB)

Nên \(\widehat {EDC} + \widehat {ECD} = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {ADC} + \widehat {DCB}} \right) \)\(= \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}\)

Lại có: 

\(\widehat {EDC} + \widehat {ECD} + \widehat {DEC} = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác DEC)

\( \Rightarrow\widehat {DEC} =180^0- (\widehat {EDC} + \widehat {ECD} )\)\(=180^0-{90^0}=90^0\)

Hay \(\widehat {HEF} = {90^0}\) (***)

Từ (*), (**) và (***) ta thấy tứ giác \(EFGH\) có ba góc vuông nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

-- Mod Toán 8 HỌC247