Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 4 Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) \(\small y = 4^x\).

b) \(y=\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\).

Tính đạo hàm của các hàm số:

a) \(\small y = 2xe^x + 3sin2x.\)

b) \(\small y = 5x^2 - 2xcosx.\)

c) \(y=\frac{x+1}{3^{x}}\).

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) \(y= log_2(5-2x)\).

b) \(y= log_3(x^2-2x)\).

c)  \(y=log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\).

d) \(\small y=log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}\).

Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) \(y = logx\).

b) \(y=log_{\frac{1}{2}}x\).

a) \(\small y= 3x^2 - lnx + 4sinx.\)

b) \(\small y= log(x^2+ x + 1)\) .

c) \(y=\frac{log_{3}x}{x}\).

Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của mỗi cặp hàm số sau 
a) \(y = {2^x}\) và y = 8
b) \(y = {3^x}\) và \(y = \frac{1}{3}\)
c) \(y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\) và \(y = \frac{1}{{16}}\)

Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, hãy so sánh mỗi cặp số sau :
a) \({(1,7)^3}\) và 1
b) \({(0,3)^2}\) và 1
c) \({(3,2)^{1,5}}\) và \({(3,2)^{1,6}}\)
d) \({(0,2)^{ - 3}}\) và \({(0,2)^{ - 2}}\)
e) \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{\sqrt 2 }}\) và \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{1,4}}\)
f) \({6^\pi }\) và \({6^{3,14}}\)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^{|x|}}\) trên đoạn [−1;1]

Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a) \(y = {\log _8}({x^2} - 3x - 4)\)

b) \(y = {\log _{\sqrt 3 }}( - {x^2} + 5x + 6)\)

c) \(y = {\log _{0,7}}\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 5}}\)

d) \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x - 4}}{{x + 4}}\) 

e) \(y = {\log _\pi }({2^x} - 2)\)

f) \(y = {\log _3}({3^{x - 1}} - 9)\)

Tính đạo hàm của các hàm số cho ở bài tập 2.32

a) \(y = {\log _8}({x^2} - 3x - 4)\)

b) \(y = {\log _{\sqrt 3 }}( - {x^2} + 5x + 6)\)

c) \(y = {\log _{0,7}}\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 5}}\)

d) \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x - 4}}{{x + 4}}\) 

e) \(y = {\log _\pi }({2^x} - 2)\)

f) \(y = {\log _3}({3^{x - 1}} - 9)\)

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng ?

A. \(y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\)

B. \(y = {\left( {\frac{e}{3}} \right)^x}\)

C. \(y = {\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^x}\)

D. \(y = {\left( {\frac{3}{e}} \right)^x}\)

Với giá trị nào của x$x$ thì đồ thị hàm số \(y = {4^x}\) nằm phía trên đường thẳng y = 1?

A. x > 0

B. x < 0

C. x = 0

D. x<1

Với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\) mằm phía trên đường thẳng y = 1?

A. x > 0

B. x < 0

C. x = 0

D. x < 1

Tìm x, biết \({2^x} = 64\)

A. x = 4

B. x = 5

C. x = 6

D. x = 8

Tìm x, biết \({3^x} = \frac{1}{{81}}\)

A. x = 4

B. x = −4

C. x = 3

D. x = −3

Tìm x, biết \({9^x} = \frac{1}{3}\)

A. x = −2

B. x = 2

C. \(x = \frac{1}{2}\)

D. \(x = - \frac{1}{2}\)

Tìm x, biết \({(\sqrt 3  - \sqrt 2 )^x} = \sqrt 3  + \sqrt 2 \)

A. x = 1

B. x = 2

C. \(x = \frac{1}{2}\)

D. x = −1

 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến ?

A. \(y = {\log _{\frac{1}{e}}}x\)

B. \(y = {\log _{\frac{\pi }{3}}}x\)

C. \(y = {\log _{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}x\)

D. \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}x\)

Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô-zi-ut (Clausius) và Cla-pay-rông (Clapeyron) đã thấy rằng áp lực P của hơi nước (tính bằng milimét thủy ngân, viết tắt là mmHg) gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kín được tính theo công thức: \(P = a{.10^{\frac{k}{{t + 273}}}}\) , trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là những hằng số. Cho biết k ≈ −2258,624
a) Tính a biết rằng khi nhiệt độ của nước là 100⁰C thì áp lực của hơi nước là 760 mmHg (tính chính xác đến hàng phần chục).
b) Tính áp lực của hơi nước khi nhiệt độ của nước là 40⁰C (tính chính xác đến hàng phần chục).

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{{e^2} - {e^{3x}} + 2}}{x}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{{e^{2x}} - {e^{5x}}}}{x}\)

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}}\\
b)y = {x^2}.\sqrt {{e^{4x}} + 1} \\
c)y = \frac{1}{2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\\
d)y = \frac{1}{2}({e^x} + {e^{ - x}})
\end{array}\)

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên R?

a)  \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\)

b) \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }}} \right)^x}\)

Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\)

b) \(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\)

Sử dụng công thức \(L\left( {dB} \right) = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}\) (xem bài đọc thêm “Lôgarit trong một số công thức đo lường “ tr.99), hãy tính gần đúng, chính xác đến hàng đơn vị, độ lớn dB của âm thanh có tỉ số \(\frac{I}{{{I_0}}}\) cho bảng sau rồi điền vào cột còn trống:

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{\ln (1 + 3x)}}{x}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{\ln (1 + {x^2})}}{x}\)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)y = \left( {3x - 2} \right){\ln ^2}x\\
b)y = \sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}\\
c)y = x.\ln \frac{1}{{1 + x}}\\
d)y = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}
\end{array}\)

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của nó?

a)  \(y = {\log _{\frac{2}{e}}}x\)

b) \(y = {\log _a}x\) với \(a = \frac{1}{{3\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}}\)

Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\)

b) \(y = {\log _{\frac{2}{3}}}x\)