Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

- Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\) (Nhân cả tử và mẫu với \(a - bi\)(số phức liên hợp của mẫu)).

- Với số phức \(z\ne0\) ta có:

+ Số phức nghịch đảo của \(z\): \({z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .\)

+ Thương của \(z'\) chia cho \(z\): \(\frac{{z'}}{z} = z'.{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z'.\overline z }}{{z.\overline z }}.\)

Ví dụ 1:

Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = (1 + i)(3 - 2i) + \frac{1}{{3 + i}}\).

Lời giải:

Ta có: \(z = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{(3 + i)(3 - i)}} = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i\)

Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: \(\overline z = \frac{{53}}{{10}} - \frac{9}{{10}}i\).

Ví dụ 2:

Tìm môđun của số phức \(z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}}\).

Lời giải:

Ta có:\(z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.\)

Vậy môđun của số phức z là: \(\left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}\).

Ví dụ 3: 

Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: \({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.\)

Lời giải:

\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\)

\(\Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i.\)

Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .\)

Ví dụ 4:

Tìm số phức z thỏa: \(\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)

Lời giải:

Điều kiện: \(\overline z \ne -2i\) hay \(z\ne 2i\)

Khi đó:  \(\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)\(\Leftrightarrow 2(\overline z - 1)(2 - i) = (3 + i)(\overline z + 2i)\)

\(\Leftrightarrow (\overline z - 1)(4 - 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}\)

\(\Leftrightarrow (1 - 3i)\overline z = 2i + 4\)

\(\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 - 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ - 1}}{5} + \frac{7}{5}i\)

\(\Rightarrow z = \frac{{ - 1}}{5} - \frac{7}{5}i\).

Ví dụ 5:

Tính số phức sau: \(z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8}.\)

Lời giải:

Ta có:  \(\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i\)\(\Rightarrow \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = - i.\)

Vậy: \({\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8} = {i^{16}} + {( - i)^8} = {({i^2})^8} + {\left( {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right)^4} = 1 + 1 = 2.\)

Nội dung bài học tiếp tục giới thiệu đến các em một phép toán tiếp theo trên tập số phức đó là phép chia hai số phức. Cách làm cụ thể và những ví dụ minh họa sẽ được giới thiệu thông qua bài học này.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho số phức \(z= \frac{{1 - i}}{{1 + i}}\). Tính giá trị của \({z^{2016}}\).

  • A. i
  • B. -i
  • C. 1
  • D. -1

• Câu 2:

  Viết số phức \(\frac{1}{{{z^3}}}\)  ở dạng \(a + bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\) biết \(z=1+i\).

  • A. \(\frac{1}{{{z^3}}} = \frac{1}{2}i\)
  • B.  \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\)
  • C.  \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{2}i\)
  • D. \(\frac{1}{{{z^3}}} = i\)

• Câu 3:

  Cho số phức z thỏa \(\frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i\). Tìm số phức \(\omega = 1 + z + {z^2}.\)

  • A.  \(\omega = - 2 - 3i\)
  • B.  \(\omega = 2 + 3i\)
  • C.  \(\omega = 2 - 3i\)  
  • D. \(\omega = - 2 + 3i\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 138 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 138 SGK Giải tích 12

Bài tập 3 trang 138 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 138 SGK Giải tích 12

Bài tập 4.19 trang 204 SBT Toán 12

Bài tập 4.20 trang 204 SBT Toán 12

Bài tập 4.21 trang 204 SBT Toán 12

Bài tập 4.22 trang 204 SBT Toán 12

Bài tập 4.23 trang 204 SBT Toán 12

Bài tập 4.24 trang 204 SBT Toán 12

Bài tập 4.25 trang 204 SBT Toán 12

Bài tập 4.26 trang 204 SBT Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.