Giải bài tập Hình học 10 Chương 1 Bài 2 Tổng và hiệu của hai vectơ

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ  \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\)

Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\) 

Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có 

a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\) 

b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CB}\) 

Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}\)

Cho tam giác ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ  \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)  và \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\)

Cho hình bình hành ABCD  có tâm O. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA} ;\)

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {DB} \)

c) \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OC} \)

d) \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \vec 0\)

Cho \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) là hai vectơ khác\(\overrightarrow{0}\). Khi nào có đẳng thức

a) \(\left| {\vec a + \vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| + \left| {\vec b} \right|;\)

b) \(\left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\vec a - \vec b} \right|\)

Cho \(\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |= 0\) . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\)

Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Cho ba lực \(\left | \overrightarrow{F_1} \right |=\overrightarrow{MA}, \left | \overrightarrow{F_2} \right |=\overrightarrow{MB}\) và\(\left | \overrightarrow{F_3} \right |=\overrightarrow{MC}\) cùng tác động vào một vât tại điểm M và đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}\) đều là 100N và \(\widehat{AMB}=60^0\)

Tìm cường độ và hướng của lực\(\overrightarrow{F_3}\) .

Cho năm điểm \(A, B, C, D\) và \(E\). Hãy xác định tổng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DE} \).

Cho bốn điểm \(A, B, C\) và \(D\). Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD} \).

Cho hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) sao cho \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow 0 \).

a) Dựng \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \). Chứng minh \(O\) là trung điểm của \(AB\).

b) Dựng \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b \). Chứng minh \(O \equiv B\).

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \).

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(ABCD\). Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \).

Cho tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(AM\). Trên cạnh \(AC\) lấy hai điểm \(E\) và \(F\) sao cho \(AE = EF= FC\); \(BE\) cắt \(AM \) tại \(N\). Chứng minh \(\overrightarrow {NA} \) và \(\overrightarrow {NM} \) là hai vec tơ đối nhau.

Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a)  \(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {BA} \)

b) \(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AB} \)

c) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng nếu \(\left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {CB} } \right|\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(C\).

Cho ngũ giác \(ABCDE\). Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {DE} \).

Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Với điều kiện nào thì vec tơ \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \) nằm trên đường phân giác của góc \(\widehat {AOB}\)?

Cho hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) có điểm đặt O và tạo với nhau góc 60⁰. Tìm cường độ tổng hợp lực của hai lực ấy biết rằng cường độ của hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) đều là 100N.

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kì trên đường chéo AC. Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và N, cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} \)

b) \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {FN} \)

Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \) thì \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BD} \)

Tứ giác ABCDABCD là hình gì nếu \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) và \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\)?

Cho bốn điểm bất kì M, N, P, Q. Chứng minh các đẳng thức sau:

\(\begin{array}{l}
a)\overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MQ} \\
b)\overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {QP}  + \overrightarrow {MQ} \\
c)\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {PN} 
\end{array}\)

Các hệ thức sau đây đúng hay sai (với mọi \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\)) ?

a) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b }\right| \)

b) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)

Cho hình bình hành ABCDABCD với tâm O. Hãy điền vào chỗ trống (…) để được đẳng thức đúng

\(\begin{array}{l}
a)\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = ...\\
b)\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = ...\\
c)\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {OA}  = ...\\
d)\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = ...\\
e)\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = ...
\end{array}\)

Cho hình bình hành ABCD với tâm O. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai ?

\(\begin{array}{l}
a)\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\\
b)\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC} \\
c)\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} \\
d)\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} 
\end{array}\)

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O.

a)  Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} ;\\
\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} ;\\
\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA} 
\end{array}\)

b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \)

Cho hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) cùng có điểm đặt tại O (h.17). Tìm cường độ lực tổng hợp của chúng trong các trường hợp sau

a) \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) đều có cường độ là 100N, góc hợp bởi \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng 120⁰ (h.17a);

b) Cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} \) là 40N, của \(\overrightarrow {{F_2}} \) là 30N và góc giữa \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng (h.17b).

Trả lời các câu hỏi sau đây:

a) Vectơ đối của vectơ \(-\overrightarrow a \) là vectơ nào?

b) Vectơ đối của vectơ  \(\overrightarrow 0 \) là vectơ nào?

c) Vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) là vectơ nào?

Chứng minh các mệnh đề sau đây:

a) Nếu \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow c \) thì 

\(\overrightarrow a  = \overrightarrow c  - \overrightarrow b ,\overrightarrow b  = \overrightarrow c  - \overrightarrow a \)

b) \(\overrightarrow a  - \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a  - \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)

c) \(\overrightarrow a  - \left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

Cho hình bình hành ABCD với tâm O. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai ?

a) \(\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {AB} \)

b) \(\overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA} \)

c) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

d) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BD} \)

e) \(\overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CO}  = \overrightarrow {BD}  - \overrightarrow {BO} \)

Cho hai điểm A, B phân biệt.

a) Tìm tập hợp các điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OB} \);

b) Tìm tập hợp các điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA}  =-\overrightarrow {OB} \) .

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \).

Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {CF} \\
 = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {BF}  + \overrightarrow {CD} \\
 = \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE} 
\end{array}\)