Hỏi đáp về GTLN và GTNN của hàm số

Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{x^{2}(y+z)}{yz}+\frac{y^{2}(z+x)}{zx}+\frac{z^{2}(x+y)}{xy}.\)

Cho x là số thực thuộc đoạn \(\left [ -1;\frac{5}{4} \right ]\).Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

\(P=\frac{\sqrt{5-4x}-\sqrt{1+x}}{\sqrt{5-4x}+2\sqrt{1+x}+6}\)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a^{2}+b^{2}=3c^{2}+4.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(P=\frac{(b+c)^{2}(a-c)}{a+c}+\frac{(a+c)^{2}(b-c)}{b+c}-c^{3}\)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P=\frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{4}+y+z}}+\frac{y^{3}+1}{\sqrt{y^{4}+z+x}}+\frac{z^{3}+1}{\sqrt{z^{4}+x+y}}-\frac{8(xy+yz+zx)}{xy+yz+zx+1}\)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \(y=x^{3}+3x^{2}+5\) với \(x\in \left [ -3;1 \right ].\)

Cho x, ,y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
\(\small P=\frac{2}{x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}}-\frac{3}{x+y+z}\)

Cho x, y là hai số thực dương và thỏa mãn điều kiện x² + y² = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
\(\small P=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})\)

Cho x, y là các số thực sao cho \(1\leq x\leq 2,\ 3\leq y\leq 4\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=x^2+y^2-4x-6y+\frac{x^8+y^8}{x^4y^4}-\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)

Cho các số thực a, b thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} a+b\geq 5\\ a\geq 3 \end{matrix}\right.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=2^{a}+2^{b}-a-b\).

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn \(x\geq y\geq z\) và x² + y² + z² = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=2xy+8yz+5zx+\frac{10}{x+y+z}\)

Cho \(2\leq x\leq 3\leq y\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(B=\frac{2x^{2}+y^{2}+2x+y}{xy}\)

Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y=\sqrt{x^{2}+3}-x\ln x\) trên đoạn [1;2]

Cho  các số thực a, b dương và thỏa mãn \(ab \geq 1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}-\frac{32}{\sqrt{2a(1+a)+2b(1+b)+8}}\)

Cho \(x,y,z\geq 0, x+y+z=1\) . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức \(P=xyz-(xy+2yz+zx)\)

Cho \(\frac{1}{4}\leq x\leq 1;y,z\geq 1\) sao cho xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức:

\(P=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\)

 Cho a , b , c là 3 số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)\leq \sqrt{10(a+b+c)^2-27}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{a+b}{2}}\sqrt[4]{(a+2c)(b+2c)}\)

Cho 3 số thực dương a; b ; c thỏa mãn điều kiện: \(\small \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

\(f(x)=2.3^{3x}-4.3^{2x}+2.3^{x}\) trên đoạn [-1; 1]

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c + b = abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(S=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c}\)

Cho a, b, c là ba số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(\small 3(a^2+b^2+c^2)=1\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(\small Q=\sqrt{a^2+b^2+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{b^2+c^2+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{c^2+a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}\)
 

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(\small P=\frac{1}{\sqrt{a^2+ab}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+ab}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+c}\)
 

Cho ba số thực dương a; b; c tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(\small P=\frac{\sqrt{a^3c}}{2\sqrt{b^3a+3bc}}+\frac{\sqrt{b^3a}}{2\sqrt{c^3b+3ca}}+\frac{\sqrt{c^3b}}{2\sqrt{a^3c+3ab}}\)
 

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \(2(a^2+b^2)=a^2.b^2\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2++1}}\)

Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{2(xy+yz+zx)}{xyz+2(2x+y+z)}+\frac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}\)

Cho 3 số thực dương x, y, z thay đổi, thỏa mãn x + y +1 = z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+zx}+\frac{z^3}{z+xz}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{1+xy+x+y}}\)