ADMICRO
AMBIENT
Banner-Video
VIDEO

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{a+b}{2}}\sqrt[4]{(a+2c)(b+2c)}\)

 Cho a , b , c là 3 số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)\leq \sqrt{10(a+b+c)^2-27}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{a+b}{2}}\sqrt[4]{(a+2c)(b+2c)}\)

  bởi Nguyễn Anh Hưng 08/02/2017
ADSENSE
QUẢNG CÁO

Câu trả lời (2)

  • \(\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)\leq \sqrt{10(a+b+c)^2-27}\)
    \(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)^2+27\leq 10(a+b+c)^2\)
    \(\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)^2+27\leq 30(a^2+b^2+c^2)\)
    \(\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)^2- 30(a^2+b^2+c^2)+27\leq 0\)
    \(\Rightarrow 1\leq a^2+b^2+c^2\leq 9\)
    \(\Rightarrow 1\leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\leq 3\) (1)
    Ta có \(P=\frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{a+b}{2}}.\sqrt[4]{(a+2c)(b+2c)}\)
    \(\leq \frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{a+b}{2}}.\frac{a+2c+b+2c}{2}\)
    \(= \frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{a+b}{2}.\frac{{a+b+4c}}{2}}\)
    \(= \frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{1}{3}}.\sqrt{\frac{3(a+b)}{2}+\frac{a+b+4c}{2}}\)
    \(\leq \frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}.(a+b+c)\)
    \(\leq \frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac{3}{t}+t=f(t),t=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
    Do (1) nên, \(t\in \left [ 1;3 \right ].\) Xét \(f(t)=t+\frac{3}{t}\), \(t\in \left [ 1;3 \right ]\)
    \(f'(t)=1-\frac{3}{t^2}=0\Leftrightarrow t=\sqrt{3}\), vì t > 0
    Bảng biến thiên:

    Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 4 khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\) hay a = b = c = 1

      bởi Hoai Hoai 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
  • angel

      bởi ❤Hoshikoyo Yuri❤ 23/08/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy

 

 
 

Các câu hỏi có liên quan

YOMEDIA