ADMICRO
AMBIENT
Banner-Video
VIDEO

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=2^{a}+2^{b}-a-b\).

Cho các số thực a, b thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} a+b\geq 5\\ a\geq 3 \end{matrix}\right.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=2^{a}+2^{b}-a-b\).

  bởi Bảo Lộc 06/02/2017
ADSENSE
QUẢNG CÁO

Câu trả lời (1)

  • Xét

    \(f(x)=2^{x}-x-(2^{m}\ln 2-1)(x-m),\; \; m> 0\)

    \(f(x)=2^{x}\ln 2-1-(2^{m}\ln 2-1);f'(x)=0\Leftrightarrow x=m\)

    Lập bảng biến thiên ta được

    \(f(x)\geq 2^{m}-m\forall x\Leftrightarrow 2^{x}-x-(2^{m}\ln 2-1)(x-m)\geq 2^{m}-m\; \forall x,m> 0(*)\)

    Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = m

    Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có \(\begin{matrix} 2^{a}-a-(2^{3}\ln 2-1)(a-3)\geq 2^{2}-3\; \forall a\; \; \; (1)\\ 2^{b}-b-(2^{2}\ln 2-1)(b-2)\geq 2^{2}-2\; \forall b\; \; \; (2) \end{matrix}\)

    Cộng các vế của (1)(2) ta được

    \(P\geq 2^{3}-3+2^{2}-2+(2^{3}\ln 2-1)(a-3)+(4\ln 2-1)(b-2)\; \forall a,b\)

    \(\Leftrightarrow P\geq 7+(4\ln 2-1)(a+b-5)+4(a-3)\ln 2\geq 7\)

    Khi a = 3, b= 2 thì P = 7 nên giá trị nhỏ nhất của P bằng 7

      bởi Nguyễn Thị An 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy

 

 
 

Các câu hỏi có liên quan

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

YOMEDIA