Hỏi đáp về GTLN và GTNN của hàm số

Cho \(\small x , y , z \geq 0\) và x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(\small P=\frac{1}{4+2ln(1+x)-y}+\frac{1}{4+2ln(1+y)-z}+\frac{1}{4+2ln(1+z)-x}\)
 

Xét các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện \(2(x+y) +7z=xyz\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=2x+y+2z\)

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn \(a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)\leq \frac{4}{3}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\)

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x > y và (x + z) (z + y) = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{4}{(x+z)^{2}}+\frac{4}{(y+z)^{2}}\)

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn \(c=min\left \{ a,b,c \right \}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\sqrt{a+b+c}\)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

\(f(x)=x^{4}-8x^{2}-2015\) trên đoạn [-1; 3].

Cho x,y là các số không âm thỏa x² + y² = 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
\(P=5(x^5+y^5)+x^2y^2(5\sqrt{2xy+2}-4xy+12)\)

Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt và thỏa mãn các điều kiện a + b + c = 1 và ab + bc + ca > 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=2\left ( \sqrt{\frac{2}{(a-b)^{2}}+\frac{2}{(b-c)^{2}}} \right )+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x^{2}+x+1}{x+1}\) trên đoạn \([\frac{1}{2};2].\)

Cho các số thực x; y; z không âm sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=(xy+yz+zx)(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2})\)

Với các số thực: \(0\leq a,b,c\leq 2\) thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}\)

Giả sử x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn \(0< (x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2\leq 2\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 4^x+4^y+4^x+ln(x^4+y^4+z^4)-\frac{3}{4}(x+y+z)^4\)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(5(x^2+y^2+z^2)=9(xy+2yz+zx)\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{x}{y^2+z^2}-\frac{1}{(x+y+z)^3}\)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: \(9(a^{4}+b^{4}+c^{4})-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+48=0.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{a+2b}.\)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} a+b+c=1\\a\geq b\geq c \end{matrix}\right.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M=\frac{a^{4}}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{7}{8}\sqrt{1+c^{2}}\)

Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện \(4x^{2}+y^{2}\leq 8\)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:

\(P=\frac{(2x+6)^{2}+(y+6)^{2}+4xy-32}{2x+y+6}\)

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

\(P=\frac{x}{(y+z)^{2}}+\frac{y}{(x+z)^{2}}+\frac{z}{(x+y)^{2}}\)

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn \(a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)\leq \frac{4}{3}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y - z = -1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{x^{3}y^{3}}{(x+yz)(y+xz)(z+xy)^{2}}\)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^{3}-3x+2\) trên đoạn [0; 2]

Cho hai số x, y thay đổi thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} x> 0> y\\ \frac{x^2}{2y}-3x+6y-\frac{4y^2}{x}-4\leq \frac{6}{xy} \end{matrix}\right.\).  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=2x^4+32y^4+4x^2y^2-2x^2-8y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{4y^2}-5\)

Cho a, b, c là các số dương và a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{3b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}\)

Cho a,b,c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn \((\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)=1\). Tìm GTNN của biểu thức P = \(a^2+b^2+c^2\)

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \(-1-2\sqrt{2}< x< -1+2\sqrt{2},y> 0,z> 0\) và \(x+y+z=-1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{8-(y+z)^2}\)

Cho các số thực x ; y thay đổi . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\sqrt{x^2+y^2+2x+1}+\sqrt{x^2+y^2-2x+1}+\left | y-2 \right |\)