Hỏi đáp về GTLN và GTNN của hàm số

Cho \(x,y,z\in [0;2]\) thỏa mãn \(x+y+z=3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{z^2+x^2+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x+\sqrt{4-x^2}\) trên đoạn \(\left [-2;\frac{1}{2} \right ]\)

Cho x \(\geq\) 0 và y \(\geq\) 0 thỏa điều kiện x + y = 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
\(P=xy+\frac{1}{xy+1}\)

Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)=x^2-ln(1-2x)\) trên đoạn [1;0].

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
\(P=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-(ab+bc+ca)\)

 Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: \(xy+1\leq y\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{x+y}{\sqrt{x^2-xy+3y^2}}+\frac{2y-x}{6(x+y)}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x.logx\) trên khoảng (0;10)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(T=\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f(x)=x+\sqrt{18-x^2}\)

Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: \(f(x)=x^5-5x^4+5x^3+1\) trên đoạn [-1;2]

 Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: \(x^2+y^2+z^2\leq \frac{3}{4}\).  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=8xyz+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)

 Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa \(x^2+y^2=2\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=2(x^3+y^3)-3xy\)

Cho các số thực x, y, z  thỏa mãn x > 2, y > 1, z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2-2(2x+y-3)}}-\frac{1}{y(x-1)(z+1)}\)
 

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x^3-3x^2+4\) trên đoạn [-2;1]. 

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn \(\sqrt{2x^{2}+3xy+4y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+3xy+4x^{2}}-3(x+y)^{2}\leq 0\)

Tìm GTNN của P: \(2(x^{3}+y^{3})+2(x^{2}+y^{2})-xy+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}\)

Tìm GTLN, GTNN của hàm số \(f(x)=ln\left | x+\sqrt{x^2+e^2} \right |\) trên \(\left [ 0;e \right ]\)

Cho a, b, c là các số thực không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:

\((a+b+c)^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2}).\) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

\(P=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}.\)

Cho x, y là hai số thỏa mãn: \(x,y\geq 1\) và \(3(x+y)=4xy.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=x^{3}+y^{3}-3\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}} \right )\)

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\small f(x)=\sqrt{3x+1}+3\sqrt{6-x}\)

Cho các số thực x, y dương thỏa mãn \(x-y+1\leq 0\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\frac{x+3y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}-\frac{2x+y^{2}}{5x+5y^{2}}.\)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = (x-6)\sqrt{x^3+4}\) trên [0;3]

Cho các số thực a, b không âm và thỏa mãn: \(3(a+b)+2(ab+1)\geq 5(a^{2}+b^{2}).\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=3\sqrt{a+b}-3(a^{2}+b^{2})+2(a+b)-ab.\)

Cho a, b, c là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(\small P=\frac{a^2}{c(c^2+a^2)}+\frac{b^2}{a(a^2+b^2)}+\frac{c^2}{b(b^2+b^2)}+2(a^2+b^2+c^2)\)