OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
UREKA
Banner-Video
IN_IMAGE

Cho \(x,y,z\in [0;2]\) thỏa mãn \(x+y+z=3\)

Cho \(x,y,z\in [0;2]\) thỏa mãn \(x+y+z=3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{z^2+x^2+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

  bởi het roi 08/02/2017
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Ta có \(x^2+y^2+2=(x^2+1)+(y^2+1)\geq 2(x+y),...;\sqrt{xy}\leq \frac{xy+1}{2},...\)
     Nên \(P\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x} +xy+yz+zx+3\right ]\)
    Ta có \((x+y+z)(xy+yz+zx)\geq 9xyz\)
    \(\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-zyz\)
    \(\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)\)
    \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(x+y)(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)
                                             \(=\frac{(x+y+z)^2+xy+yz+zx}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)

                                            \(\leq \frac{(x+y+z)^2+xy+yz+zx}{\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)}\)


                                            \(=\frac{27}{8(xy+yz+zx)}+\frac{3}{8}\)
    Suy ra \(P\leq \frac{1}{2}\left [\frac{27}{8(xy+yz+zx)}+xy+yz+zx+\frac{27}{8} \right ]\)
    Đặt \(t=xy+yz+zx\)
    Do \(x,y,z\in [0;2]\Rightarrow (2-x)(2-y)(2-z)\geq 0\)
    \(\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq \frac{4+xyz}{2}\geq 2\Rightarrow t\geq 2\)
    Mặt khác: \(xy+yz+zx\leq \frac{1}{3}(x+y+z)^2=3\Rightarrow t\leq 3\)
    Vậy \(t\in [2;3]\)
    Ta có \(P\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{27}{8t}+t+\frac{27}{8} \right ]=f(t)\)

    Xét hàm số f(t) với \(t\in [0;2]\) ta có \(f'(t)=\frac{1}{2}\left [ t-\frac{27}{8t^2} \right ]=\frac{8t^3-27}{16t^2}>0 \ \forall t\in [2;3]\) nên hàm số f(t) đồng biến trên [2;3]
    \(\Rightarrow f(t)\leq f(3)=\frac{15}{4}\)
    Do \(P\leq f(t)\Rightarrow P\leq \frac{15}{4}\). Có \(P= \frac{15}{4}\) khi x = y = z = 1
    Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{15}{4}\) đạt được khi  x = y = z = 1



     

      bởi Thuy Kim 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12