Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1

\(T=\frac{4}{1-a}+\frac{4}{1-b}+\frac{4}{1-c}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{5a-1}{a-a^2}+\frac{5b-1}{b-b^2}+\frac{5c-1}{c-c^2}\)

Ta có \(\frac{5a-1}{a-a^2}-(18a-3)=\frac{(3a-1)^2(2a-1)}{a-a^2}\leq 0,\ \forall a\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right )\)
Từ đó suy ra: \(\frac{5a-1}{a-a^2}\leq 18a-3,\forall a\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right )\)

Ta cũng có 2 bất đẳng thức tương tự:
\(\frac{5a-1}{a-a^2}\leq 18a-3,\forall a\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right )\) và \(\frac{5c-1}{c-c^2}\leq 18c-3,\forall c\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right )\)
Cộng các bất đẳng thức này lại với nhau ta có:
\(T=\frac{5a-1}{a-a^2}+\frac{5b-1}{b-b^2}+\frac{5c-1}{c-c^2}\leq 18(a+b+c)-9=9\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Rightarrow T_{max}=9\) đạt được \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy Cho a, b, c  là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1, thì giá trị lớn nhất
của biểu thức:
\(T=\frac{4}{1-a}+\frac{4}{1-b}+\frac{4}{1-c}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\) bằng 9 và đạt được khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)