OPTADS360
AANETWORK
LAVA
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{8-(y+z)^2}\)

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \(-1-2\sqrt{2}< x< -1+2\sqrt{2},y> 0,z> 0\) và \(x+y+z=-1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{8-(y+z)^2}\)

  bởi thanh duy 06/02/2017
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (2)

  • Ta có \(P=\frac{1}{(-1-z)^2}+\frac{1}{(-1-y)^2}+\frac{1}{8-(-1-x)^2}\)
                 \(=\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{8-(1+x)^2}\)
    Ta sẽ chứng minh \(\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{1}{1+yz}\)
    Thật vậy: \(\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{1}{1+yz}\Leftrightarrow (1+yz)\left [ (1+z)^2+(1+y)^2 \right ]\geq \left [ (1+z)(1+y) \right ]^2\)
    \(\Leftrightarrow (1+yz)(2+2z+2y+z^2+y^2)\geq (1+zy+z+y)^2\)
    \(\Leftrightarrow 2(z+y)(1+zy)+2(1+yz)+(1+zy)(y-z)^2+2zy(1+yz)\)
    \(\geq (1+zy)^2+2(z+y)(1+zy)+(z+y)^2\)
    \(\Leftrightarrow (1+zy)(y-z)^2+2+4yz+2y^2z^2-(1+yz)^2-(y-z)^2-4yz\geq 0\)
    \(\Leftrightarrow yz(y-z)^2+(1-yz)^2\geq 0\) (hiển nhiên đúng).
    Dấu “=” xảy ra khi y = z =1.
    Ta lại có  \(\frac{y+z}{2}\geq \sqrt{yz}\Rightarrow yz\leq \left ( \frac{y+z}{2} \right )^2=\frac{(-1-x)^2}{4}=\frac{(1+x)^2}{4}\)
    Do đó \(\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{1}{1+yz}\geq \frac{1}{1+\frac{(1+x)^2}{4}}=\frac{4}{4+(1+x)^2}\)

    \(\Rightarrow P\geq \frac{4}{4+(1+x)^2}+\frac{1}{8-(x+1)^2}\)
    Do \(-1- 2\sqrt{2}< x < -1+ 2 \sqrt{2}\) nên \((x+1)^2\in [ 0;8)\)
    Đặt \(t=(1+x)^2\Rightarrow t\in[ 0;8)\) và \(P\geq \frac{4}{4+t}+\frac{1}{8-t}\)
    Xét \(f(t)=\frac{4}{(4+t)^2}+\frac{1}{8-t}\) với \(t\in[ 0;8)\)
    \(f'(t)=-\frac{4}{(4+t)^2}+\frac{1}{(8-t)^2}=\frac{-3t^2+72t-240}{(4+t)^2(8-t)^2}\)
    \(f'(t)=0\Leftrightarrow -3t^2+72t-240=0\Leftrightarrow t=4; t=20 \ \ (loai)\)
    Bảng biến thiên

    Do đó \(P\geq f(t)\geq \frac{3}{4}\) và \(P= \frac{3}{4}\) khi \(\left\{\begin{matrix} (1+x)^2=4\\ y=z=1\\ x+y+z=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-3\\ y=z=1 \end{matrix}\right.\)
    Vậy min \(P= \frac{3}{4}\) khi x = -3, y = z = 1

      bởi minh dương 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF