OPTADS360
AANETWORK
LAVA
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{x^{3}y^{3}}{(x+yz)(y+xz)(z+xy)^{2}}\)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y - z = -1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{x^{3}y^{3}}{(x+yz)(y+xz)(z+xy)^{2}}\)

  bởi hồng trang 06/02/2017
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (3)

  • Ta có \(x+y-z=-1\Rightarrow z=x+y+1\)

    \(\Rightarrow z+xy=x+y+1+xy=(x+1)(y+1)\)

    \(x+yz=x+y(x+y+1)=x+xy+y^{2}+y=(x+y)(y+1)\)

    \(y+xz=y+x(x+y+1)=(x+y)(x+1)\)

    Ta được \(P=\frac{x^{3}y^{3}}{(x+y)^{2}.(x+1)^{3}(y+1)^{3}}\)

    Vì \(\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}\geq 4xy\\x>0 \\y>0 \end{matrix}\right.\Rightarrow P\leq \frac{x^{3}y^{3}}{4xy.(x+1)^{3}(y+1)^{3}}=\frac{x^{3}y^{3}}{4(x+1)^{3}(y+1)^{3}}\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

    \(x+1=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{4}}\Rightarrow (x+1)^{3}\geq \frac{27}{4}x^{2}\Rightarrow 0<\frac{x^{2}}{(x+1)^{3}}\leq \frac{4}{27}\)

    Lập luận tương tự ta được \(0<\frac{y^{2}}{(y+1)^{3}}\leq \frac{4}{27}\)

    \(\Rightarrow P\leq \frac{1}{4}.\frac{4}{27}.\frac{4}{27}=\frac{4}{729}\)

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}=\frac{2}{2}=1\\z=x+y+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=2\\z=5 \end{matrix}\right.\)

    Vậy maxP = đạt được khi \(\left\{\begin{matrix} x=y=2\\z=5 \end{matrix}\right.\)

      bởi Trieu Tien 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF