Cho a, b, c là ba số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(\small 3(a^2+b^2+c^2)=1\)

+ Ta có \((a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)=1\) suy ra \(a+b+c\leq 1\)
+ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:
\(\small \sqrt{2}Q=\sqrt{2(a^2+b^2)+2(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}+\sqrt{2(b^2+c^2)+2(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2})}+\sqrt{2(c^2+a^2)+2(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})}\)
\(\small \geq \sqrt{(a+b)^2+(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}+\sqrt{(b+c)^2+(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})^2}+\sqrt{(c+a)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2}\)
+ Xét các véc tơ: \(\small \vec{x}=\left ( a+b;\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right );\vec{y}=\left ( b+c;\frac{1}{a} +\frac{1}{c}\right );\vec{z}=\left ( c+a;\frac{1}{a} +\frac{1}{b}\right )\)
Ta có \(\small \vec{x}+\vec{y}+\vec{z}=(2(a+b+c);2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c} \right ))\) và \(\small \left | \vec{x} \right |+\left | \vec{y} \right |+\left | \vec{z} \right |\geq \left | \vec{x}+\vec{y}+\vec{z} \right |\)
Khi đó \(\small \sqrt{2}Q\geq \sqrt{4(a+b+c)^2+4\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2}\geq 2\sqrt{(a+b+c)^2+\frac{81}{(a+b+c)^2}}\)
+ Đặt \(\small t=(a+b+c)^2\Rightarrow 0< t\leq 1\)
Xét hàm \(\small f(t)=t+\frac{81}{t}\) với \(\small t\in (0;1 ]\). Ta có \(\small f'(t)=1-\frac{81}{t^2}< 0,\forall t\in (0;1]\)
Suy ra f(t) là hàm nghịch biến trên \(\small (0;1]\Rightarrow f'(t)\geq f(1)=82\)
\(\small \Rightarrow \sqrt{2}Q\geq 2\sqrt{82}\) hay \(\small Q\geq 2\sqrt{41}\)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\small \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\). Vậy \(\small min Q=2\sqrt{41}\) khi \(\small a =b = c = \frac{1}{3}\)