RANDOM
AMBIENT
Banner-Video
VIDEO

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=2xy+8yz+5zx+\frac{10}{x+y+z}\)

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn \(x\geq y\geq z\) và x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=2xy+8yz+5zx+\frac{10}{x+y+z}\)

  bởi Nguyễn Phương Khanh 08/02/2017
ADSENSE
QUẢNG CÁO

Câu trả lời (1)

  • Ta có: \(A=(x+y+z)^2-3+3xz+6yz+\frac{10}{x+y+z}\)
    \(0\leq 3xz+6yz=3z(x+2y)\leq \left ( \frac{3z+x+2y}{2} \right )^2\leq (x+y+z)^2\)
    \((x+y+z)^2-3+\frac{10}{x+y+z}\leq A\leq 2(x+y+z)^2-3+\frac{10}{x+y+z}\)
    Đặt t = x + y + z
    \(\Rightarrow 3=x^2+y^3+z^2\leq (x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^3+z^2)=9\)
    \(\Rightarrow \sqrt{3}\leq t\leq 3\)
    Và \(t^2-3+\frac{10}{t}\leq A\leq 2t^2-3+\frac{10}{t}\)
    Xét hàm số: \(f(t)=t^2+\frac{10}{t}-3\) trên \(D=\left [ \sqrt{3};3 \right ],f'(t)=2t-\frac{10}{t^2}=\frac{2t^3-10}{t^2}>0,\forall t\in D\)
    \(\Rightarrow f(t)\)  luôn đồng biến trên D \(\Rightarrow A\geq min_D \ f(t)=f(\sqrt{3})=\frac{10}{\sqrt{3}}\)  dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} z(x+2y)=0\\ x+y+z=\sqrt{3}\\ x^2+y^2+z^2=3 \end{matrix}\right.\)
    \(\Leftrightarrow y=z=0,x=\sqrt{3}(x\geq y\geq z)\)
    Giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{10}{\sqrt{3}}\), đạt được khi y = z = 0, \(x=\sqrt{3}\)
    Xét hàm số: \(g(t)=2t^2+\frac{10}{t}-3\) trên \(D=\left [ \sqrt{3};3 \right ], g'(t)=4t-\frac{10}{t^2}\) \(=\frac{4t^3-10}{t^2}>0\) \(\forall t\in D\)
    \(\Rightarrow g(t)\) luôn đồng biến trên D \(\Rightarrow A\leq min_D \ g(t)=g(3)=\frac{55}{3}\)
    \(\left\{\begin{matrix} 3z=x+2y\\ x+y+z=3\\ x^2+y^3+z^2=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
    Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\frac{55}{3}\), đạt được khi  x = y = z = 1

      bởi An Nhiên 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy

 

 
 

Các câu hỏi có liên quan

YOMEDIA